Der Graph von f verläuft auf [0, 4] oberhalb der x-Achse und schließt mit ihr eine Fläche von 6 ein. Welchen Wert hat ∫₀⁴ f(x) dx?

Erklärung: Für f(x) ≥ 0 ist das bestimmte Integral genau der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse — hier 6. Wer durch die Intervalllänge 4 teilt (1,5), berechnet den Mittelwert; wer mit ihr multipliziert (24), zählt die Breite doppelt.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − ___.

Erklärung: Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

Berechne ∫₀² x² dx.

Erklärung: F(x) = x³/3. ∫₀² x² dx = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,67.

∫₃³ (x² + 5) dx = 0.

Erklärung: Richtig. Die Integrationsgrenzen sind gleich, das Intervall hat die Länge null — F(3) − F(3) = 0, egal wie die Funktion aussieht.

Berechne ∫₁³ (2x + 1) dx.

Erklärung: F(x) = x² + x. F(3) − F(1) = (9+3) − (1+1) = 12 − 2 = 10.

f(x) = x auf [0, 2], zerlegt in zwei gleich breite Streifen. Wie groß ist die Obersumme O₂?

Erklärung: Die Obersumme nimmt in jedem Streifen den größten Funktionswert als Rechteckshöhe — 1·1 + 1·2 = 3. Der Wert 1 ist die Untersumme (kleinste Werte), 2 ist die exakte Fläche dazwischen.

∫ₐᵇ f(x) dx = −∫___ f(x) dx.

Erklärung: Vertauschung der Integrationsgrenzen ändert das Vorzeichen: ∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ.

Berechne ∫₀¹ (3x² − 2x + 1) dx.

Erklärung: F(x) = x³ − x² + x. F(1) − F(0) = (1 − 1 + 1) − 0 = 1.

Für f(x) = x − 3 gilt ∫₀² f(x) dx < 0.

Erklärung: Richtig. Auf [0, 2] verläuft der Graph von f(x) = x − 3 unter der x-Achse, das Integral ist negativ (hier −4). Das bestimmte Integral kann also negative Werte annehmen.

Für eine Funktion f gilt ∫₀³ f(x) dx = 7 und ∫₃⁵ f(x) dx = 2. Welchen Wert hat ∫₀⁵ f(x) dx?

Erklärung: Intervalladditivität: Die Integrale über [0,3] und [3,5] setzen sich zum Integral über [0,5] zusammen — 7 + 2 = 9. Subtrahieren (5) oder Multiplizieren (14) verwechselt die Regel.

Berechne ∫₁⁴ √x dx = ∫₁⁴ x^(1/2) dx.

Erklärung: F(x) = (2/3)x^(3/2). F(4) − F(1) = (2/3)·8 − (2/3)·1 = 16/3 − 2/3 = 14/3 ≈ 4,67.

∫ₐᵇ c·f(x) dx = c · ∫ₐᵇ f(x) dx. Diese Regel heißt ___.

Erklärung: Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden (Homogenität).

Berechne ∫₋₁¹ x³ dx.

Erklärung: F(x) = x⁴/4. F(1) − F(−1) = 1/4 − 1/4 = 0. (x³ ist eine ungerade Funktion, symmetrisches Intervall.)

Auf [0, 1] gilt x² ≤ x. Daraus folgt ∫₀¹ x² dx ≤ ∫₀¹ x dx.

Erklärung: Richtig. Monotonie des Integrals: Liegt ein Graph auf dem ganzen Intervall unter dem anderen, ist auch sein Integral kleiner (1/3 ≤ 1/2).

Berechne ∫₀³ (x² − 2x) dx.

Erklärung: F(x) = x³/3 − x². F(3) − F(0) = (9 − 9) − 0 = 0.

Die Untersumme Uₙ und die Obersumme Oₙ für f(x) = x² + 1 auf [0,2] mit n Teilintervallen. Was gilt für n → ∞?

Erklärung: Für stetige Funktionen konvergieren Ober- und Untersummen gegen den gleichen Grenzwert — das bestimmte Integral.

Berechne ∫₂⁵ 4 dx.

Erklärung: F(x) = 4x. F(5) − F(2) = 20 − 8 = 12. (Fläche eines Rechtecks: Breite 3, Höhe 4.)

∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx. Dies ist die ___ des Integrals.

Erklärung: Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale (Linearität/Summenregel).

Berechne ∫₀² (x³ − x) dx.

Erklärung: F(x) = x⁴/4 − x²/2. F(2) − F(0) = (16/4 − 4/2) − 0 = 4 − 2 = 2.

Welche Rechnung wendet den Hauptsatz richtig an?

Erklärung: Hauptsatz: Stammfunktion F(x) = x² bilden, dann F(2) − F(1) = 4 − 1 = 3 rechnen. Wer [2] einsetzt, hat abgeleitet statt aufgeleitet; wer nur 4 erhält, hat F(1) nicht abgezogen.

Berechne ∫₁² (1/x²) dx = ∫₁² x⁻² dx.

Erklärung: F(x) = −1/x. F(2) − F(1) = −1/2 − (−1) = −1/2 + 1 = 1/2 = 0,5.

Aufgabe 1 von 21