Ebenengleichungen
Wie viele Parameter hat die Parametergleichung einer Ebene im âÂł?
ErklĂ€rung: Eine Ebene wird durch einen StĂŒtzvektor und zwei Richtungsvektoren beschrieben: E: xâ = pâ + r·uâ + s·vâ mit den Parametern r und s.
Die Koordinatengleichung einer Ebene hat die Form ax + by + cz = ___.
ErklĂ€rung: Die allgemeine Koordinatengleichung lautet ax + by + cz = d, wobei nâ = (a, b, c) der Normalenvektor ist.
Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf jedem Vektor, der in der Ebene liegt.
ErklÀrung: Per Definition steht der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene, also auf allen Vektoren, die in ihr liegen.
Gegeben ist die Ebene E: 2x â 3y + z = 7. Welcher Vektor ist ein Normalenvektor von E?
ErklĂ€rung: In der Koordinatengleichung ax + by + cz = d ist nâ = (a, b, c) = (2, â3, 1) der Normalenvektor.
Eine Ebene enthĂ€lt den Punkt P(1, 0, 2) und hat den Normalenvektor nâ = (3, â1, 4). Wie lautet die Koordinatengleichung?
ErklĂ€rung: Einsetzen von P: 3·1 â 1·0 + 4·2 = 3 + 0 + 8 = 11. Also 3x â y + 4z = 11.
Zwei Ebenen mit parallelen Normalenvektoren sind stets identisch.
ErklĂ€rung: Parallele Normalenvektoren bedeuten, dass die Ebenen parallel sind â aber nicht unbedingt identisch. Sie können auch echt parallel (ohne gemeinsamen Punkt) sein.
Um von der Parameterform einer Ebene zur Koordinatenform zu gelangen, berechnet man das ___ der beiden Richtungsvektoren.
ErklĂ€rung: Das Kreuzprodukt uâ Ă vâ der beiden Richtungsvektoren liefert den Normalenvektor, aus dem die Koordinatengleichung folgt.
Die Ebene E hat die Gleichung x + 2y â z = 5. Berechne den Wert d, wenn man E in die Form x + 2y â z = d schreibt.
ErklÀrung: Die Gleichung ist bereits in Koordinatenform. Es gilt d = 5.