Integrationstechniken
∫ (1/(3x+2)) dx = ?
Erklärung: Innere Ableitung = 3, also Faktor 1/3: ∫ 1/(3x+2) dx = (1/3)ln|3x+2| + C.
∫ e^(5x) dx = ___ + C.
Erklärung: ∫ e^(5x) dx = (1/5)e^(5x) + C. Innere Ableitung = 5, also Faktor 1/5.
Berechne ∫₀^(π/2) sin(2x) dx.
Erklärung: ∫₀^(π/2) sin(2x) dx = [−½cos(2x)]₀^(π/2) = −½cos(π) + ½cos(0) = −½(−1) + ½(1) = ½ + ½ = 1.
∫ cos(4x − π) dx = ?
Erklärung: Innere Ableitung = 4, also ∫ cos(4x−π) dx = (1/4)sin(4x−π) + C.
Berechne die Fläche zwischen f(x) = eˣ und g(x) = 1 im Intervall [0; ln 2].
Erklärung: A = ∫₀^(ln2) (eˣ − 1) dx = [eˣ − x]₀^(ln2) = (e^(ln2) − ln2) − (1 − 0) = 2 − ln2 − 1 = 1 − ln2 ≈ 1 − 0,693 = 0,307 ≈ 0,31.
∫ sin(2x + 1) dx = ___ + C.
Erklärung: ∫ sin(2x+1) dx = −(1/2)cos(2x+1) + C. Innere Ableitung = 2, also Faktor 1/2.
Berechne ∫₁^e (1/x) dx.
Erklärung: ∫₁^e (1/x) dx = [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
∫ (1/x²) dx = −1/x + C.
Erklärung: Richtig. ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(−1) + C = −1/x + C. Probe: (−1/x)' = 1/x². ✓
Für f(x) = x³ gilt ∫₋₁¹ x³ dx = 0, aber der Graph schließt mit der x-Achse sichtbar Fläche ein. Welcher Ansatz liefert diese Fläche?
Erklärung: Auf [−1; 0] liegt der Graph unter der x-Achse und liefert einen negativen Beitrag, der den positiven auf [0; 1] auslöscht. Der Betrag muss unter das Integral: ∫ |f(x)| dx = 1/2. Der Betrag um das ganze Integral ergibt |0| = 0.
Berechne ∫₀¹ e^(−x) dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.
Erklärung: ∫₀¹ e^(−x) dx = [−e^(−x)]₀¹ = −e⁻¹ + e⁰ = 1 − 1/e ≈ 1 − 0,368 = 0,632 ≈ 0,63.
Berechne ∫₁^e² (1/x) dx.
Erklärung: ∫₁^(e²) (1/x) dx = [ln x]₁^(e²) = ln(e²) − ln(1) = 2 − 0 = 2.
∫ (2/(4x − 3)) dx = ___ + C.
Erklärung: ∫ 2/(4x−3) dx = 2 · (1/4) · ln|4x−3| + C = ½ ln|4x−3| + C.
Berechne die Fläche zwischen f(x) = sin x und der x-Achse im Intervall [0; 2π].
Erklärung: sin x ≥ 0 auf [0; π] und sin x ≤ 0 auf [π; 2π]. A = ∫₀^π sin x dx + |∫_π^(2π) sin x dx| = [−cos x]₀^π + |[−cos x]_π^(2π)| = (1+1) + |−1−1| = 2 + 2 = 4.
Aus ∫₀¹ x² dx = 1/3 folgt ∫₁⁰ x² dx = −1/3.
Erklärung: Richtig. Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Vorzeichen des Integrals.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x · eˣ²?
Erklärung: F(x) = eˣ². Probe: F'(x) = eˣ² · 2x = 2x · eˣ² = f(x). ✓ (Kettenregel)
Berechne ∫₀¹ (eˣ + e^(−x)) dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.
Erklärung: ∫₀¹ (eˣ + e^(−x)) dx = [eˣ − e^(−x)]₀¹ = (e − e⁻¹) − (1 − 1) = e − 1/e ≈ 2,718 − 0,368 = 2,350.
Eine Stammfunktion von f(x) = cos(3x) ist F(x) = ___.
Erklärung: ∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Probe: ((1/3)sin(3x))' = (1/3)·3·cos(3x) = cos(3x). ✓
Berechne die Fläche zwischen f(x) = 1/x und der x-Achse von x = 1 bis x = e. Gib den Wert als Dezimalzahl an.
Erklärung: A = ∫₁^e (1/x) dx = [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
Neben F(x) = x³ ist auch G(x) = x³ + 7 eine Stammfunktion von f(x) = 3x².
Erklärung: Richtig. G'(x) = 3x² + 0 = f(x) — die Konstante fällt beim Ableiten weg. Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante.
Berechne ∫₂⁴ (3/x) dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.
Erklärung: ∫₂⁴ (3/x) dx = 3[ln x]₂⁴ = 3(ln 4 − ln 2) = 3 ln(4/2) = 3 ln 2 ≈ 3 · 0,693 = 2,079 ≈ 2,08.
∫ e^(−2x) dx = ?
Erklärung: Innere Ableitung = −2, also ∫ e^(−2x) dx = (1/(−2))e^(−2x) + C = −½ e^(−2x) + C.
Berechne ∫₀^(π/4) (1/cos²x) dx. Hinweis: 1/cos²x = (tan x)'.
Erklärung: ∫₀^(π/4) (1/cos²x) dx = [tan x]₀^(π/4) = tan(π/4) − tan(0) = 1 − 0 = 1.
Berechne die Fläche zwischen f(x) = eˣ, der x-Achse und den Geraden x = −1, x = 1. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.
Erklärung: A = ∫₋₁¹ eˣ dx = [eˣ]₋₁¹ = e¹ − e⁻¹ = e − 1/e ≈ 2,718 − 0,368 = 2,350 ≈ 2,35.
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), wobei F eine ___ von f ist.
Erklärung: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).