Integrationstechniken

Integration Techniques

Mathematik Klasse 13 24 Aufgaben
AnalysisIntegrationFlächenberechnungTranszendente FunktionenKerncurriculum

Voraussetzungen (1)

Trigonometrische Funktionen in der Analysis
Klasse 13
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

∫ (1/(3x+2)) dx = ?

  • ● (1/3) ln|3x+2| + C
  • ○ ln|3x+2| + C
  • ○ 3 ln|3x+2| + C
Innere Ableitung = 3, also Faktor 1/3: ∫ 1/(3x+2) dx = (1/3)ln|3x+2| + C.
Lückentext #2 10s ▶ Testen

∫ e^(5x) dx = ___ + C.

✓ Antwort: (1/5)e^(5x)
∫ e^(5x) dx = (1/5)e^(5x) + C. Innere Ableitung = 5, also Faktor 1/5.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Berechne ∫₀^(π/2) sin(2x) dx.

✓ Antwort: 1
∫₀^(π/2) sin(2x) dx = [−½cos(2x)]₀^(π/2) = −½cos(π) + ½cos(0) = −½(−1) + ½(1) = ½ + ½ = 1.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

∫ cos(4x − π) dx = ?

  • ● (1/4)sin(4x − π) + C
  • ○ sin(4x − π) + C
  • ○ −(1/4)sin(4x − π) + C
Innere Ableitung = 4, also ∫ cos(4x−π) dx = (1/4)sin(4x−π) + C.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

∫ sin(2x + 1) dx = ___ + C.

✓ Antwort: −½cos(2x + 1)
∫ sin(2x+1) dx = −(1/2)cos(2x+1) + C. Innere Ableitung = 2, also Faktor 1/2.
Zahleneingabe #6 10s ▶ Testen

Berechne ∫₁^e (1/x) dx.

✓ Antwort: 1
∫₁^e (1/x) dx = [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
Wahr / Falsch #7 10s ▶ Testen

∫ (1/x²) dx = −1/x + C.

✓ Wahr
Richtig. ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(−1) + C = −1/x + C. Probe: (−1/x)' = 1/x². ✓
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

Berechne ∫₀¹ e^(−x) dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

✓ Antwort: 0.63
∫₀¹ e^(−x) dx = [−e^(−x)]₀¹ = −e⁻¹ + e⁰ = 1 − 1/e ≈ 1 − 0,368 = 0,632 ≈ 0,63.
Zahleneingabe #9 15s ▶ Testen

Berechne ∫₁^e² (1/x) dx.

✓ Antwort: 2
∫₁^(e²) (1/x) dx = [ln x]₁^(e²) = ln(e²) − ln(1) = 2 − 0 = 2.
Wahr / Falsch #10 10s ▶ Testen

Aus ∫₀¹ x² dx = 1/3 folgt ∫₁⁰ x² dx = −1/3.

✓ Wahr
Richtig. Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Vorzeichen des Integrals.
Lückentext #11 15s ▶ Testen

Eine Stammfunktion von f(x) = cos(3x) ist F(x) = ___.

✓ Antwort: (1/3)sin(3x)
∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Probe: ((1/3)sin(3x))' = (1/3)·3·cos(3x) = cos(3x). ✓
Zahleneingabe #12 15s ▶ Testen

Berechne die Fläche zwischen f(x) = 1/x und der x-Achse von x = 1 bis x = e. Gib den Wert als Dezimalzahl an.

✓ Antwort: 1
A = ∫₁^e (1/x) dx = [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
Wahr / Falsch #13 10s ▶ Testen

Neben F(x) = x³ ist auch G(x) = x³ + 7 eine Stammfunktion von f(x) = 3x².

✓ Wahr
Richtig. G'(x) = 3x² + 0 = f(x) — die Konstante fällt beim Ableiten weg. Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante.
Zahleneingabe #14 20s ▶ Testen

Berechne ∫₂⁴ (3/x) dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

✓ Antwort: 2.08
∫₂⁴ (3/x) dx = 3[ln x]₂⁴ = 3(ln 4 − ln 2) = 3 ln(4/2) = 3 ln 2 ≈ 3 · 0,693 = 2,079 ≈ 2,08.
Multiple Choice #15 15s ▶ Testen

∫ e^(−2x) dx = ?

  • ● −½ e^(−2x) + C
  • ○ ½ e^(−2x) + C
  • ○ e^(−2x) + C
Innere Ableitung = −2, also ∫ e^(−2x) dx = (1/(−2))e^(−2x) + C = −½ e^(−2x) + C.
Zahleneingabe #16 20s ▶ Testen

Berechne die Fläche zwischen f(x) = eˣ, der x-Achse und den Geraden x = −1, x = 1. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

✓ Antwort: 2.35
A = ∫₋₁¹ eˣ dx = [eˣ]₋₁¹ = e¹ − e⁻¹ = e − 1/e ≈ 2,718 − 0,368 = 2,350 ≈ 2,35.
Lückentext #17 10s ▶ Testen

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), wobei F eine ___ von f ist.

✓ Antwort: Stammfunktion
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne die Fläche zwischen f(x) = eˣ und g(x) = 1 im Intervall [0; ln 2].

✓ Antwort: 0.31
A = ∫₀^(ln2) (eˣ − 1) dx = [eˣ − x]₀^(ln2) = (e^(ln2) − ln2) − (1 − 0) = 2 − ln2 − 1 = 1 − ln2 ≈ 1 − 0,693 = 0,307 ≈ 0,31.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Für f(x) = x³ gilt ∫₋₁¹ x³ dx = 0, aber der Graph schließt mit der x-Achse sichtbar Fläche ein. Welcher Ansatz liefert diese Fläche?

  • ● ∫₋₁¹ |x³| dx
  • ○ ∫₋₁¹ x³ dx
  • ○ |∫₋₁¹ x³ dx|
Auf [−1; 0] liegt der Graph unter der x-Achse und liefert einen negativen Beitrag, der den positiven auf [0; 1] auslöscht. Der Betrag muss unter das Integral: ∫ |f(x)| dx = 1/2. Der Betrag um das ganze Integral ergibt |0| = 0.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

∫ (2/(4x − 3)) dx = ___ + C.

✓ Antwort: ½ ln|4x − 3|
∫ 2/(4x−3) dx = 2 · (1/4) · ln|4x−3| + C = ½ ln|4x−3| + C.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne die Fläche zwischen f(x) = sin x und der x-Achse im Intervall [0; 2π].

✓ Antwort: 4
sin x ≥ 0 auf [0; π] und sin x ≤ 0 auf [π; 2π]. A = ∫₀^π sin x dx + |∫_π^(2π) sin x dx| = [−cos x]₀^π + |[−cos x]_π^(2π)| = (1+1) + |−1−1| = 2 + 2 = 4.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x · eˣ²?

  • ● F(x) = eˣ²
  • ○ F(x) = x² · eˣ
  • ○ F(x) = 2eˣ²
F(x) = eˣ². Probe: F'(x) = eˣ² · 2x = 2x · eˣ² = f(x). ✓ (Kettenregel)
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Berechne ∫₀¹ (eˣ + e^(−x)) dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

✓ Antwort: 2.35
∫₀¹ (eˣ + e^(−x)) dx = [eˣ − e^(−x)]₀¹ = (e − e⁻¹) − (1 − 1) = e − 1/e ≈ 2,718 − 0,368 = 2,350.
Zahleneingabe #7 20s ▶ Testen

Berechne ∫₀^(π/4) (1/cos²x) dx. Hinweis: 1/cos²x = (tan x)'.

✓ Antwort: 1
∫₀^(π/4) (1/cos²x) dx = [tan x]₀^(π/4) = tan(π/4) − tan(0) = 1 − 0 = 1.