Der natürliche Logarithmus ist definiert als ln x = ∫₁ˣ (1/t) dt für x ___.

Erklärung: ln x = ∫₁ˣ (1/t) dt ist für alle x > 0 definiert.

Berechne ln 1.

Erklärung: ln 1 = ∫₁¹ (1/t) dt = 0, da das Integrationsintervall die Länge 0 hat.

Die Ableitung von f(x) = ln x ist:

Erklärung: (ln x)' = 1/x (für x > 0). Das folgt direkt aus der Definition von ln als Stammfunktion von 1/x.

Die Eulersche Zahl e ist definiert als die Zahl, für die ln e = ___ gilt.

Erklärung: Die Basis der Funktion ln ist e ≈ 2,71828..., definiert durch ln e = 1.

ln(a · b) = ln a + ln b für a, b > 0.

Erklärung: Richtig. Das Logarithmengesetz: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen.

Berechne die Ableitung von f(x) = ln(2x + 5) an der Stelle x = 0. Gib den Wert als Dezimalzahl an.

Erklärung: f'(x) = 2/(2x+5) (Kettenregel). f'(0) = 2/5 = 0,4.

∫ (1/x) dx = ?

Erklärung: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C. Der Betrag ist nötig, damit die Stammfunktion auch für x < 0 definiert ist.

Berechne ∫₁ᵉ (1/x) dx.

Erklärung: ∫₁ᵉ (1/x) dx = [ln x]₁ᵉ = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.

ln(a/b) = ln a − ___ für a, b > 0.

Erklärung: Logarithmengesetz: ln(a/b) = ln a − ln b.

Berechne die Ableitung von f(x) = x² · ln x an der Stelle x = 1.

Erklärung: f'(x) = 2x · ln x + x² · (1/x) = 2x ln x + x (Produktregel). f'(1) = 2·1·ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1.

Die Funktion f(x) = ln x ist für alle x > 0 streng monoton wachsend.

Erklärung: Richtig. f'(x) = 1/x > 0 für alle x > 0, also ist ln streng monoton steigend.

Welche Aussage über den Graphen von y = ln x ist korrekt?

Erklärung: ln 1 = 0, also Schnittpunkt mit der x-Achse bei (1; 0). Der Graph schneidet die y-Achse nicht (Definitionsbereich x > 0).

Berechne ∫₁² (1/x) dx. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

Erklärung: ∫₁² (1/x) dx = ln 2 − ln 1 = ln 2 ≈ 0,6931 ≈ 0,69.

ln(xⁿ) = ___ · ln x für x > 0 und n ∈ ℝ.

Erklärung: Logarithmengesetz: ln(xⁿ) = n · ln x (Potenzregel).

Bestimme die Nullstelle von f(x) = ln(1 − x) + 1. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

Erklärung: ln(1−x) + 1 = 0 → ln(1−x) = −1 → 1−x = e⁻¹ = 1/e → x = 1 − 1/e ≈ 1 − 0,368 = 0,632 ≈ 0,63.

∫ (1/(2x−1)) dx = ?

Erklärung: Substitution: innere Ableitung = 2, also ∫ 1/(2x−1) dx = (1/2) ln|2x−1| + C.

ln x → +∞ für x → +∞, aber sehr langsam (langsamer als jede Potenzfunktion xⁿ mit n > 0).

Erklärung: Richtig. lim(x→∞) ln x = +∞, aber ln x wächst langsamer als jede Potenz: lim(x→∞) ln x / xⁿ = 0.

Berechne die 2. Ableitung von f(x) = (ln x)² an der Stelle x = 1.

Erklärung: f'(x) = 2 ln x · (1/x) = 2 ln x / x. f''(x) = (2/x · 1/x − 2 ln x · 1/x²)/1 = (2 − 2 ln x)/x². f''(1) = (2 − 0)/1 = 2.

Die Beziehung log_a(x) = ln x / ___ ermöglicht die Umrechnung beliebiger Logarithmen auf den natürlichen Logarithmus.

Erklärung: log_a(x) = ln x / ln a (Basiswechselformel).

Näherungswerte für e: Für n = 10 gilt (1 + 1/n)ⁿ < e < (1 + 1/n)^(n+1). Berechne (1 + 1/10)^10 = 1,1^10. Gib den Wert gerundet auf 2 Dezimalstellen an.

Erklärung: 1,1^10 = (1,1²)^5 = 1,21^5. 1,21² = 1,4641, 1,4641 · 1,21 ≈ 1,7716, 1,7716 · 1,21 ≈ 2,1436, 2,1436 · 1,21 ≈ 2,5937 ≈ 2,59.

Für x → 0⁺ gilt ln x → ?

Erklärung: Die x-Achse (x = 0) ist eine senkrechte Asymptote von ln x. Für x → 0⁺ geht ln x → −∞.

∫₁ᵉ² (1/x) dx = 2.

Erklärung: ∫₁^(e²) (1/x) dx = [ln x]₁^(e²) = ln(e²) − ln 1 = 2 − 0 = 2.

Bestimme die Tangente an f(x) = ln x im Punkt P(1; 0). Welchen Anstieg hat sie?

Erklärung: f'(x) = 1/x. f'(1) = 1. Die Tangente: y = 1·(x − 1) = x − 1.

Aufgabe 1 von 23