Normalverteilung
Welche Eigenschaft hat die Dichtefunktion der Normalverteilung?
Erklärung: Die Gaußsche Glockenkurve ist symmetrisch zu μ, dort liegt das Maximum. Die Gesamtfläche beträgt 1.
Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 % der Werte im Intervall [μ − σ; μ + σ].
Erklärung: Das ist die erste Sigma-Regel: P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683.
Die Sigma-Regel besagt: Etwa ___ % der Werte liegen im Intervall [μ − 2σ; μ + 2σ].
Erklärung: Die zweite Sigma-Regel: P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954, also ca. 95,4 %.
Eine Zufallsgröße X ist normalverteilt mit μ = 100 und σ = 15. Welches Intervall enthält ca. 99,7 % der Werte?
Erklärung: Dritte Sigma-Regel: [μ − 3σ; μ + 3σ] = [100 − 45; 100 + 45] = [55; 145] enthält ca. 99,7 %.
Eine diskrete Zufallsgröße kann durch eine Dichtefunktion beschrieben werden.
Erklärung: Dichtefunktionen gehören zu stetigen Zufallsgrößen. Diskrete Zufallsgrößen werden durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Tabellen, Histogramme) beschrieben.
Wie berechnet man P(a ≤ X ≤ b) bei einer stetigen Zufallsgröße mit Dichtefunktion f?
Erklärung: Bei stetigen Zufallsgrößen entspricht die Wahrscheinlichkeit der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [a; b].
X ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 10. Wie viel Prozent der Werte liegen ungefähr im Intervall [30; 70]? (Ganzzahl)
Erklärung: [30; 70] = [μ − 2σ; μ + 2σ]. Nach der zweiten Sigma-Regel liegen dort ca. 95 % der Werte.
Was passiert mit der Glockenkurve, wenn σ kleiner wird (bei gleichem μ)?
Erklärung: Kleineres σ bedeutet geringere Streuung. Die Werte konzentrieren sich stärker um μ, daher wird die Kurve schmaler und (wegen Gesamtfläche 1) höher.