Normalverteilung

Normal Distribution

Mathematik Klasse 13 8 Aufgaben
WahrscheinlichkeitStatistikNormalverteilungKerncurriculum

Voraussetzungen (2)

Das bestimmte Integral
Klasse 13
›
Stochastische Unabhängigkeit
Klasse 11
›

Ermöglicht (1)

Hypothesentest
Klasse 13
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche Eigenschaft hat die Dichtefunktion der Normalverteilung?

  • ● Sie ist symmetrisch zum Erwartungswert μ und hat dort ihr Maximum.
  • ○ Sie ist an genau zwei Stellen maximal.
  • ○ Sie nimmt negative Werte an.
  • ○ Die Fläche unter der Kurve beträgt 0,5.
Die Gaußsche Glockenkurve ist symmetrisch zu μ, dort liegt das Maximum. Die Gesamtfläche beträgt 1.
Wahr / Falsch #2 10s ▶ Testen

Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 % der Werte im Intervall [μ − σ; μ + σ].

✓ Wahr
Das ist die erste Sigma-Regel: P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683.
Lückentext #3 12s ▶ Testen

Die Sigma-Regel besagt: Etwa ___ % der Werte liegen im Intervall [μ − 2σ; μ + 2σ].

✓ Antwort: 95,4
Die zweite Sigma-Regel: P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954, also ca. 95,4 %.
Wahr / Falsch #4 12s ▶ Testen

Eine diskrete Zufallsgröße kann durch eine Dichtefunktion beschrieben werden.

✓ Falsch
Dichtefunktionen gehören zu stetigen Zufallsgrößen. Diskrete Zufallsgrößen werden durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Tabellen, Histogramme) beschrieben.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine Zufallsgröße X ist normalverteilt mit μ = 100 und σ = 15. Welches Intervall enthält ca. 99,7 % der Werte?

  • ● [55; 145]
  • ○ [70; 130]
  • ○ [85; 115]
  • ○ [40; 160]
Dritte Sigma-Regel: [μ − 3σ; μ + 3σ] = [100 − 45; 100 + 45] = [55; 145] enthält ca. 99,7 %.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Wie berechnet man P(a ≤ X ≤ b) bei einer stetigen Zufallsgröße mit Dichtefunktion f?

  • ● Als bestimmtes Integral ∫_a^b f(x) dx
  • ○ Als f(b) − f(a)
  • ○ Als f(a) + f(b)
  • ○ Als Summe f(a) + f(a+1) + … + f(b)
Bei stetigen Zufallsgrößen entspricht die Wahrscheinlichkeit der Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall [a; b].
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

X ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 10. Wie viel Prozent der Werte liegen ungefähr im Intervall [30; 70]? (Ganzzahl)

✓ Antwort: 95
[30; 70] = [μ − 2σ; μ + 2σ]. Nach der zweiten Sigma-Regel liegen dort ca. 95 % der Werte.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Was passiert mit der Glockenkurve, wenn σ kleiner wird (bei gleichem μ)?

  • ● Die Kurve wird schmaler und höher.
  • ○ Die Kurve wird breiter und flacher.
  • ○ Die Kurve verschiebt sich nach rechts.
  • ○ Die Kurve bleibt gleich.
Kleineres σ bedeutet geringere Streuung. Die Werte konzentrieren sich stärker um μ, daher wird die Kurve schmaler und (wegen Gesamtfläche 1) höher.