Minus mal Minus — warum Plus?
Setze die Reihe fort: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0, (−1) · (−2) = ___
Erklärung: Bei jedem Schritt wird das Ergebnis um 2 größer: −6, −4, −2, 0 — also geht es mit +2 weiter. (−1) · (−2) = 2.
Setze die Reihe fort: 3 · (−5) = −15, 2 · (−5) = −10, 1 · (−5) = −5, 0 · (−5) = 0. Was ergibt (−1) · (−5)?
Erklärung: Von −15 zu −10 zu −5 zu 0 wächst das Ergebnis jedes Mal um 5. Genau dieses Muster trägt die Reihe über die Null hinaus weiter: (−1) · (−5) = +5.
Welche Aufgabe kann man noch als wiederholte Addition lesen?
Erklärung: „Dreimal die −4" kann man hinlegen und addieren. Für (−3) · (−4) gibt es kein solches Bild — man kann nichts „minus dreimal" hinlegen.
Für (−3) · (−4) gibt es ein einfaches Bild als wiederholte Addition, so wie für 3 · (−4).
Erklärung: Nein — wiederholte Addition erklärt nur, was „dreimal die −4" heißt. Für Minus mal Minus braucht man ein anderes Argument: das Fortsetzen der Permanenzreihe.
Setze fort: 2 · (−7) = −14, 1 · (−7) = −7, 0 · (−7) = 0, (−1) · (−7) = ___
Erklärung: Das Ergebnis wächst bei jedem Schritt um 7: −14, −7, 0 — der nächste Wert ist +7.
Schreibe als Malaufgabe: (−5) + (−5) + (−5) = 3 · ___
Erklärung: Dreimal dieselbe Zahl addieren heißt mit 3 multiplizieren: (−5) + (−5) + (−5) = 3 · (−5) = −15.
In der Reihe 3 · (−6) = −18, 2 · (−6) = −12, 1 · (−6) = −6 wird das Ergebnis bei jedem Schritt um 6 größer.
Erklärung: Ja — von −18 über −12 zu −6 sind es Schritte von +6. Deshalb geht es nach 0 · (−6) = 0 mit (−1) · (−6) = +6 weiter.
Setzt man das Muster der Reihe 3 · (−4) = −12, 2 · (−4) = −8, 1 · (−4) = −4, 0 · (−4) = 0 fort, was ergibt (−2) · (−4)?
Erklärung: Jeder Schritt macht das Ergebnis um 4 größer: nach 0 kommt (−1) · (−4) = 4, dann (−2) · (−4) = 8.
Welche Geschichte passt zu 3 · (−4)?
Erklärung: Dreimal 4 Euro Schulden machen: (−4) + (−4) + (−4) = 3 · (−4) = −12. Das Schulden-Erlassen gehört zu (−3) · (−4).
Wer dreimal je 4 Euro Schulden erlassen bekommt, ist danach um 12 Euro reicher — das passt zu (−3) · (−4) = +12.
Erklärung: Ja — Schulden wegnehmen macht reicher. Dreimal 4 Euro Schulden weg sind +12 Euro. Das Bild stützt das Ergebnis der Permanenzreihe.
Die Reihe 2 · (−1) = −2, 1 · (−1) = −1, 0 · (−1) = 0 läuft weiter. Was muss (−1) · (−1) sein, damit das Muster nicht bricht?
Erklärung: Die Reihe wächst bei jedem Schritt um 1 — nach der 0 kommt +1. Deshalb muss (−1) · (−1) = +1 sein: Die Regel folgt aus dem Muster, nicht aus den Zeichen selbst.
Lena legt fest: „Minus mal Minus gibt Minus", also (−1) · (−3) = −3. Prüfe an der Reihe 2 · (−3) = −6, 1 · (−3) = −3, 0 · (−3) = 0: Passt Lenas Ergebnis zum Muster?
Erklärung: Nein — die Reihe wächst bei jedem Schritt um 3, nach der 0 muss +3 kommen. Mit Lenas −3 würde das Muster brechen und vertraute Rechengesetze gälten nicht mehr. Die Plus-Regel ist die einzige Fortsetzung, die alles erhält.
Es gilt 3 + (−3) = 0, also auch (−4) · (3 + (−3)) = 0. Mit dem Verteilungsgesetz: (−4) · 3 + (−4) · (−3) = 0. Was muss (−4) · (−3) dann sein?
Erklärung: (−4) · 3 = −12 steht fest. Damit die Summe 0 ergibt, muss (−4) · (−3) = +12 sein, denn −12 + 12 = 0 — sonst gälte das Verteilungsgesetz nicht mehr.
Sage mit dem Muster voraus: 2 · (−9) = −18, 1 · (−9) = −9, 0 · (−9) = 0, (−1) · (−9) = 9, (−2) · (−9) = ___
Erklärung: Die Reihe wächst pro Schritt um 9: 0, 9, 18. Also (−2) · (−9) = 18.
Die Aufgabe 0 · (−8) = 0 ist der Wendepunkt der Permanenzreihe: links davon sind die Ergebnisse negativ, rechts davon positiv.
Erklärung: Ja — bei den positiven Malzahlen ist das Ergebnis negativ, bei 0 ist es null, und ab (−1) · (−8) = +8 wird es positiv.