Minus mal Minus — warum Plus?

Minus Times Minus — Why Plus?

Mathematik Klasse 5 15 Aufgaben
ArithmetikGanze ZahlenKerncurriculum

„Minus mal Minus gibt Plus" ist keine Willkür, sondern die einzige Fortsetzung, unter der die vertrauten Rechengesetze weitergelten. 3 · (−4) ist noch wiederholte Addition — dreimal die −4 ergibt −12 —, für (−3) · (−4) gibt es kein solches Bild mehr. In der Reihe 3 · (−4) = −12, 2 · (−4) = −8, 1 · (−4) = −4, 0 · (−4) = 0 wächst das Ergebnis bei jedem Schritt um 4; wer das Muster fortsetzt, muss (−1) · (−4) = +4 setzen (Permanenzprinzip, Freudenthal 1973; Malle 2007). Das Schuldenbild stützt: dreimal 4 Euro Schulden erlassen macht um 12 Euro reicher.

Voraussetzungen (1)

Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
Klasse 5
›

Ermöglicht (1)

Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Klasse 5
›
Leicht
Lückentext #1 25s ▶ Testen

Setze die Reihe fort: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0, (−1) · (−2) = ___

✓ Antwort: 2
Bei jedem Schritt wird das Ergebnis um 2 größer: −6, −4, −2, 0 — also geht es mit +2 weiter. (−1) · (−2) = 2.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Setze die Reihe fort: 3 · (−5) = −15, 2 · (−5) = −10, 1 · (−5) = −5, 0 · (−5) = 0. Was ergibt (−1) · (−5)?

  • ● 5
  • ○ −5
  • ○ 0
Von −15 zu −10 zu −5 zu 0 wächst das Ergebnis jedes Mal um 5. Genau dieses Muster trägt die Reihe über die Null hinaus weiter: (−1) · (−5) = +5.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Aufgabe kann man noch als wiederholte Addition lesen?

  • ● 3 · (−4), also (−4) + (−4) + (−4)
  • ○ (−3) · (−4)
  • ○ (−1) · (−1)
„Dreimal die −4" kann man hinlegen und addieren. Für (−3) · (−4) gibt es kein solches Bild — man kann nichts „minus dreimal" hinlegen.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für (−3) · (−4) gibt es ein einfaches Bild als wiederholte Addition, so wie für 3 · (−4).

✓ Falsch
Nein — wiederholte Addition erklärt nur, was „dreimal die −4" heißt. Für Minus mal Minus braucht man ein anderes Argument: das Fortsetzen der Permanenzreihe.
Lückentext #5 25s ▶ Testen

Setze fort: 2 · (−7) = −14, 1 · (−7) = −7, 0 · (−7) = 0, (−1) · (−7) = ___

✓ Antwort: 7
Das Ergebnis wächst bei jedem Schritt um 7: −14, −7, 0 — der nächste Wert ist +7.
Lückentext #6 20s ▶ Testen

Schreibe als Malaufgabe: (−5) + (−5) + (−5) = 3 · ___

✓ Antwort: -5
Dreimal dieselbe Zahl addieren heißt mit 3 multiplizieren: (−5) + (−5) + (−5) = 3 · (−5) = −15.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

In der Reihe 3 · (−6) = −18, 2 · (−6) = −12, 1 · (−6) = −6 wird das Ergebnis bei jedem Schritt um 6 größer.

✓ Wahr
Ja — von −18 über −12 zu −6 sind es Schritte von +6. Deshalb geht es nach 0 · (−6) = 0 mit (−1) · (−6) = +6 weiter.
Mittel
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Setzt man das Muster der Reihe 3 · (−4) = −12, 2 · (−4) = −8, 1 · (−4) = −4, 0 · (−4) = 0 fort, was ergibt (−2) · (−4)?

  • ● 8
  • ○ −8
  • ○ 0
Jeder Schritt macht das Ergebnis um 4 größer: nach 0 kommt (−1) · (−4) = 4, dann (−2) · (−4) = 8.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Geschichte passt zu 3 · (−4)?

  • ● Tim macht dreimal hintereinander 4 Euro Schulden.
  • ○ Tim bekommt dreimal 4 Euro geschenkt.
  • ○ Tim bekommt dreimal 4 Euro Schulden erlassen.
Dreimal 4 Euro Schulden machen: (−4) + (−4) + (−4) = 3 · (−4) = −12. Das Schulden-Erlassen gehört zu (−3) · (−4).
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Wer dreimal je 4 Euro Schulden erlassen bekommt, ist danach um 12 Euro reicher — das passt zu (−3) · (−4) = +12.

✓ Wahr
Ja — Schulden wegnehmen macht reicher. Dreimal 4 Euro Schulden weg sind +12 Euro. Das Bild stützt das Ergebnis der Permanenzreihe.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die Reihe 2 · (−1) = −2, 1 · (−1) = −1, 0 · (−1) = 0 läuft weiter. Was muss (−1) · (−1) sein, damit das Muster nicht bricht?

  • ● +1
  • ○ −1
  • ○ 0
Die Reihe wächst bei jedem Schritt um 1 — nach der 0 kommt +1. Deshalb muss (−1) · (−1) = +1 sein: Die Regel folgt aus dem Muster, nicht aus den Zeichen selbst.
Wahr / Falsch #5 25s ▶ Testen

Lena legt fest: „Minus mal Minus gibt Minus", also (−1) · (−3) = −3. Prüfe an der Reihe 2 · (−3) = −6, 1 · (−3) = −3, 0 · (−3) = 0: Passt Lenas Ergebnis zum Muster?

✓ Falsch
Nein — die Reihe wächst bei jedem Schritt um 3, nach der 0 muss +3 kommen. Mit Lenas −3 würde das Muster brechen und vertraute Rechengesetze gälten nicht mehr. Die Plus-Regel ist die einzige Fortsetzung, die alles erhält.
Lückentext #6 25s ▶ Testen

Sage mit dem Muster voraus: 2 · (−9) = −18, 1 · (−9) = −9, 0 · (−9) = 0, (−1) · (−9) = 9, (−2) · (−9) = ___

✓ Antwort: 18
Die Reihe wächst pro Schritt um 9: 0, 9, 18. Also (−2) · (−9) = 18.
Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Die Aufgabe 0 · (−8) = 0 ist der Wendepunkt der Permanenzreihe: links davon sind die Ergebnisse negativ, rechts davon positiv.

✓ Wahr
Ja — bei den positiven Malzahlen ist das Ergebnis negativ, bei 0 ist es null, und ab (−1) · (−8) = +8 wird es positiv.
Schwer
Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

Es gilt 3 + (−3) = 0, also auch (−4) · (3 + (−3)) = 0. Mit dem Verteilungsgesetz: (−4) · 3 + (−4) · (−3) = 0. Was muss (−4) · (−3) dann sein?

  • ● +12
  • ○ −12
  • ○ 0
(−4) · 3 = −12 steht fest. Damit die Summe 0 ergibt, muss (−4) · (−3) = +12 sein, denn −12 + 12 = 0 — sonst gälte das Verteilungsgesetz nicht mehr.