Primzahlen und Primfaktorzerlegung
Die Zahl 1 ist eine Primzahl.
Erklärung: Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Die 1 hat aber nur einen einzigen Teiler.
Welche dieser Zahlen ist eine Primzahl?
Erklärung: 17 hat nur die Teiler 1 und 17. Die anderen Zahlen sind zerlegbar: 9 = 3 × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7.
Die Primfaktorzerlegung von 12 ist 2 × 2 × ___.
Erklärung: 12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3. Also 12 = 2² × 3.
Im Primfaktorbaum von 60 steht oben 60, darunter die Äste 2 und 30, dann 2 und 15, dann 3 und 5. Schreibe das Produkt aller Primzahlen an den Astenden: 60 = 2 × 2 × ___ × 5.
Erklärung: Der Baum zerlegt schrittweise: 60 = 2 × 30, 30 = 2 × 15, 15 = 3 × 5. An den Astenden stehen die Primfaktoren 2, 2, 3 und 5. Also 60 = 2 × 2 × 3 × 5.
Du willst 231 in Primfaktoren zerlegen. Mit welchem Primfaktor kannst du sicher beginnen, ohne zu dividieren?
Erklärung: Die Teilbarkeitsregeln sind das Werkzeug für den Faktorbaum: Die Quersumme 2 + 3 + 1 = 6 ist durch 3 teilbar, also auch 231. Die Endziffer 1 schließt 2 und 5 dagegen aus. 231 = 3 × 7 × 11.
Was ist die Primfaktorzerlegung von 36?
Erklärung: 36 = 2 × 18 = 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 3 × 3. Nur 2 × 2 × 3 × 3 besteht ausschließlich aus Primzahlen; 2 × 18 und 4 × 9 enthalten noch zerlegbare Faktoren.
Lena rechnet: „150 = 2 × 3 × 25, also ist die Primfaktorzerlegung 2 × 3 × 25." Stimmt ihre Primfaktorzerlegung?
Erklärung: 25 ist keine Primzahl, denn 25 = 5 × 5. Lena muss weiter zerlegen. Richtig ist 150 = 2 × 3 × 5 × 5. Eine Primfaktorzerlegung enthält nur Primzahlen.
Tom zerlegt 84 mit dem Faktorbaum über 2 × 42, Mia über 4 × 21. Tom sagt: "Dann bekommen wir am Ende verschiedene Primfaktoren." Hat er recht?
Erklärung: Nein. Beide Wege enden bei 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Das ist der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 hat — bis auf die Reihenfolge — genau eine Primfaktorzerlegung, egal wie der Baum beginnt.
Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl.
Erklärung: Jede andere gerade Zahl ist durch 2 teilbar und hat daher außer 1 und sich selbst noch den Teiler 2 — also mehr als zwei Teiler. Nur die 2 ist gerade und prim.
Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 1 und 20?
Erklärung: Die Primzahlen bis 20 sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Das sind 8 Stück.
Ordne diese Zahlen nach der Anzahl ihrer Primfaktoren (mit Vielfachheit), von der kleinsten Anzahl zur größten.
Erklärung: 7 ist prim (1 Faktor). 6 = 2 × 3 (2 Faktoren). 12 = 2 × 2 × 3 (3 Faktoren). 24 = 2 × 2 × 2 × 3 (4 Faktoren).
120 Kinder sollen für ein Sportfest in gleich große Gruppen aufgeteilt werden. Wie groß ist die größte mögliche Gruppe, sodass die Gruppe noch kleiner als 20 Kinder ist und kein Kind übrig bleibt?
Erklärung: Gesucht ist der größte Teiler von 120, der kleiner als 20 ist. Teiler von 120 unter 20: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15. Der größte ist 15 — es entstehen 8 Gruppen zu je 15 Kindern.