Proportionalität und umgekehrte Proportionalität
In welcher Tabelle ist y proportional zu x?
Erklärung: Proportional heißt y = k · x: Hier ist y ÷ x überall 2,5. In der zweiten Tabelle wächst y zwar gleichmäßig um 2 — aber „immer gleich viel dazu" ist Addition, keine Proportionalität. In der dritten wird y sogar kleiner.
Eine Flasche Brause kostet 0,62 €. Peter kauft n Flaschen. Ist der Gesamtpreis proportional zur Anzahl n?
Erklärung: Ja. Der Preis ist P = 0,62 · n — jede Flasche kostet gleich viel, also wächst der Preis proportional mit k = 0,62.
Bei einer Proportionalität y = k · x heißt k der ___.
Erklärung: Die feste Zahl k, die x und y verbindet, heißt Proportionalitätsfaktor.
Bei der Proportionalität y = 5 · x gehört zu x = 4 der Wert y = 20. Gehört zu x = 8 dann y = 40?
Erklärung: Richtig! Verdoppelt man x (von 4 auf 8), verdoppelt sich auch y (von 20 auf 40) — das ist der Kern jeder Proportionalität.
Liegt Proportionalität vor? x: 1, 2, 3, 4 → y: 3, 6, 9, 12
Erklärung: y/x = 3/1 = 6/2 = 9/3 = 12/4 = 3. Alle Quotienten sind gleich, also y = 3x.
Liegt Proportionalität vor? x: 1, 2, 3, 4 → y: 1, 4, 9, 16
Erklärung: Falsch! y/x = 1, 2, 3, 4 — die Quotienten sind nicht alle gleich. Es gilt y = x², das ist keine Proportionalität.
Wie sieht der Graph der Proportionalität y = 4 · x im Koordinatensystem aus?
Erklärung: Zu x = 0 gehört y = 0 — der Graph von y = 4 · x ist eine Gerade durch den Nullpunkt. Eine Gerade, die die y-Achse bei 4 schneidet, wäre y = x + 4, keine Proportionalität.
Bei Proportionalität gilt y = 2,5 · x. Wie groß ist y, wenn x = 8?
Erklärung: y = 2,5 · 8 = 20.
y ist proportional zu x mit k = 7. Welches x gehört zu y = 42?
Erklärung: 42 = 7 · x, also x = 42 ÷ 7 = 6.
In welcher Tabelle ist y umgekehrt proportional zu x?
Erklärung: Umgekehrt proportional heißt: Das Produkt x · y bleibt gleich (1 · 12 = 2 · 6 = 4 · 3 = 12) — doppeltes x, halbes y. Die zweite Tabelle ist direkt proportional, und in der dritten wird y zwar kleiner, aber nicht im festen Produkt-Takt.
2 Pumpen leeren ein Becken in 8 Stunden. Vera sagt: „4 Pumpen brauchen dann 16 Stunden." Stimmt das?
Erklärung: Falsch! Mehr Pumpen brauchen weniger Zeit — das ist umgekehrte Proportionalität: 2 · 8 = 16, also 4 · t = 16 und t = 4 Stunden.
5 Arbeiter brauchen 12 Tage fĂĽr eine Arbeit. Wie viele Tage brauchen 10 Arbeiter?
Erklärung: Umgekehrte Proportionalität: 5 · 12 = 60, also 10 · t = 60, t = 6 Tage.
Ein Auto fährt mit v = 80 km/h und braucht t = 3 h. Wie lange braucht es mit v = 120 km/h (in h)?
Erklärung: s = v · t = 80 · 3 = 240 km. Mit 120 km/h: t = 240 ÷ 120 = 2 h.
In einer Klasse sind 12 Mädchen und 15 Jungen. Wie lautet das Verhältnis Mädchen zu Jungen?
Erklärung: Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen in der genannten Reihenfolge: Mädchen zu Jungen ist 12 : 15 (gekürzt 4 : 5). 15 : 12 wäre Jungen zu Mädchen, und 12 : 27 vergleicht mit der ganzen Klasse.
3 : 5 = 12 : ___
Erklärung: 3/5 = 12/x → x = 12 · 5/3 = 20.
Im Verhältnis 2 : 3 sollen 50 Bonbons aufgeteilt werden. Wie viele bekommt der erste?
Erklärung: Gesamtteile: 2 + 3 = 5. Erster: 50 · 2/5 = 20 Bonbons.
Kupfer hat die Dichte 8,9 g/cm³, es gilt also m = 8,9 · V. Ist die Masse eines Kupferkörpers proportional zu seinem Volumen?
Erklärung: Ja. m = 8,9 · V hat genau die Form y = k · x — doppeltes Volumen bedeutet doppelte Masse, mit k = 8,9 g/cm³.
2,5 kg Äpfel kosten 3,75 €. Wie viel kosten 4 kg (bei Proportionalität)?
Erklärung: k = 3,75 ÷ 2,5 = 1,50 €/kg. Preis für 4 kg: 1,50 · 4 = 6,00 €.
Wenn y proportional zu x ist, dann ist auch x proportional zu ___.
Erklärung: Proportionalität ist symmetrisch: y ~ x ⟹ x ~ y.
Welche Zuordnung ist KEINE Proportionalität?
Erklärung: Körpergröße ist nicht proportional zum Alter: Verdoppelt man das Alter, verdoppelt sich die Größe nicht.
Auf einer Karte im MaĂźstab 1 : 50000 ist eine Strecke 4,6 cm lang. Wie lang ist die wirkliche Strecke in km?
Erklärung: 4,6 cm · 50000 = 230000 cm = 2300 m = 2,3 km.
Die Tabelle x: 2, 3, 6 → y: 9, 6, 3 ist umgekehrt proportional. Welche Prüfung zeigt das?
Erklärung: Umgekehrte Proportionalität prüft man am Produkt x · y = k (hier 18). Der Quotient wäre der Test für direkte Proportionalität — hier ist er 4,5, dann 2, dann 0,5. Und die Summen 11, 9, 9 sind auch nicht gleich.
Ein Taxi kostet 4 € Grundgebühr und 2 € je Kilometer. 3 km kosten 10 €. Kosten 6 km dann 20 €?
Erklärung: Nein: 4 € + 6 · 2 € = 16 €. Wegen der Grundgebühr ist der Preis nicht proportional zur Strecke; doppelt so weit heißt nicht doppelt so teuer.
Eine Pizza wird an 4 Kinder verteilt; jedes bekommt 3 StĂĽcke. Wie viele StĂĽcke bekommt jedes, wenn 6 Kinder teilen?
Erklärung: 4 · 3 = 12 Stücke. 12 : 6 = 2 Stücke. Mehr Kinder, weniger Stücke für jedes: umgekehrt proportional.