Proportionalität und umgekehrte Proportionalität
Direct and Inverse Proportionality
Zwei Größen sind proportional, wenn doppelt so viel von der einen auch doppelt so viel von der anderen bedeutet; dann ist der Quotient y/x konstant — der Proportionalitätsfaktor k mit y = k · x, im Koordinatensystem eine Ursprungsgerade. Bei umgekehrter Proportionalität ist stattdessen das Produkt x · y konstant: mehr Arbeiter, weniger Tage. Bevor man mit Verhältnistabelle oder Dreisatz hochrechnet, prüft man an Tabelle und Graph, OB überhaupt Proportionalität vorliegt. Der dokumentierte Fehler, überall proportional zu rechnen (Alter, 100-m-Zeiten — die „Illusion der Linearität", van Dooren et al. 2005), wird an Gegenbeispielen entkräftet.
Doppelt so viel, doppelt so teuer
Nüsse kosten 3 € je Kilogramm. Oben liegt eine Leiter für die Menge, unten eine für den Preis. Schieb die Menge und schau, wo die Marke auf der Preis-Leiter landet. Probier die doppelte Menge, die halbe, die dreifache.
Beide Leitern gehen immer gleich weit mit: doppelte Menge, doppelter Preis; halbe Menge, halber Preis. Solche Größen heißen proportional. Der Chip „Preis je kg“ verrät, woran man sie erkennt: Teilt man den Preis durch die Menge, kommt immer dasselbe heraus, hier 3. Dieser feste Quotient heißt Proportionalitätsfaktor k. Mit der Menge x und dem Preis y gilt
Die Doppelleiter ist auch der Dreisatz ohne Rechnung: Von 4 kg kommst du zu 1 kg, indem du auf beiden Leitern durch 4 gehst, und von 1 kg zu jeder anderen Menge. Im Koordinatensystem liegen die Wertepaare auf einer Geraden durch den Ursprung.
Nicht alles ist proportional
Ein Kind ist mit 5 Jahren 110 cm groß. Mit 10 Jahren ist es nicht 220 cm groß. Wer überall proportional rechnet, tappt in eine bekannte Falle. Prüf deshalb zuerst, ob der Quotient wirklich gleich bleibt. Bei umgekehrter Proportionalität bleibt stattdessen das Produkt gleich: Doppelt so viele Arbeiter brauchen halb so viele Tage.
Voraussetzungen (3)
Ermöglicht (2)
In welcher Tabelle ist y proportional zu x?
Eine Flasche Brause kostet 0,62 €. Peter kauft n Flaschen. Ist der Gesamtpreis proportional zur Anzahl n?
Bei der Proportionalität y = 5 · x gehört zu x = 4 der Wert y = 20. Gehört zu x = 8 dann y = 40?
Liegt Proportionalität vor? x: 1, 2, 3, 4 → y: 3, 6, 9, 12
Liegt Proportionalität vor? x: 1, 2, 3, 4 → y: 1, 4, 9, 16
Wie sieht der Graph der Proportionalität y = 4 · x im Koordinatensystem aus?
In welcher Tabelle ist y umgekehrt proportional zu x?
2 Pumpen leeren ein Becken in 8 Stunden. Vera sagt: „4 Pumpen brauchen dann 16 Stunden." Stimmt das?
5 Arbeiter brauchen 12 Tage fĂĽr eine Arbeit. Wie viele Tage brauchen 10 Arbeiter?
In einer Klasse sind 12 Mädchen und 15 Jungen. Wie lautet das Verhältnis Mädchen zu Jungen?
Welche Zuordnung ist KEINE Proportionalität?
Die Tabelle x: 2, 3, 6 → y: 9, 6, 3 ist umgekehrt proportional. Welche Prüfung zeigt das?
Bei einer Proportionalität y = k · x heißt k der ___.
Bei Proportionalität gilt y = 2,5 · x. Wie groß ist y, wenn x = 8?
y ist proportional zu x mit k = 7. Welches x gehört zu y = 42?
Ein Auto fährt mit v = 80 km/h und braucht t = 3 h. Wie lange braucht es mit v = 120 km/h (in h)?
Kupfer hat die Dichte 8,9 g/cm³, es gilt also m = 8,9 · V. Ist die Masse eines Kupferkörpers proportional zu seinem Volumen?
Wenn y proportional zu x ist, dann ist auch x proportional zu ___.
Im Verhältnis 2 : 3 sollen 50 Bonbons aufgeteilt werden. Wie viele bekommt der erste?
2,5 kg Äpfel kosten 3,75 €. Wie viel kosten 4 kg (bei Proportionalität)?
Auf einer Karte im MaĂźstab 1 : 50000 ist eine Strecke 4,6 cm lang. Wie lang ist die wirkliche Strecke in km?
Ein Taxi kostet 4 € Grundgebühr und 2 € je Kilometer. 3 km kosten 10 €. Kosten 6 km dann 20 €?
Eine Pizza wird an 4 Kinder verteilt; jedes bekommt 3 StĂĽcke. Wie viele StĂĽcke bekommt jedes, wenn 6 Kinder teilen?