Dreiecke und ihre Eigenschaften
Wie heißt ein Dreieck, bei dem alle Seiten verschieden lang sind?
Erklärung: Ein Dreieck mit drei verschiedenen Seitenlängen heißt unregelmäßig (oder ungleichseitig).
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind...
Erklärung: Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten (die Schenkel). Auch gleichseitige Dreiecke zählen dazu.
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt ___°.
Erklärung: Innenwinkelsatz: α + β + γ = 180°.
In einem Dreieck sind α = 55° und β = 73°. Wie groß ist γ?
Erklärung: γ = 180° - 55° - 73° = 52°.
In einem gleichseitigen Dreieck: Wie groß ist jeder Innenwinkel?
Erklärung: Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich: 180° ÷ 3 = 60°.
In einem Dreieck ABC ist α = 90° und β = 35°. Wie groß ist γ?
Erklärung: γ = 180° - 90° - 35° = 55°.
Wie heißt ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel (> 90°)?
Erklärung: Ein Dreieck mit einem Winkel größer als 90° heißt stumpfwinklig.
Ein Dreieck kann zwei rechte Winkel haben.
Erklärung: Falsch! 90° + 90° = 180°, dann bliebe für den dritten Winkel 0°. Das ist kein Dreieck.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
Erklärung: Richtig! Der Basiswinkelsatz besagt: Wenn a = b, dann α = β.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Winkel γ = 40° an der Spitze. Wie groß sind die Basiswinkel?
Erklärung: α = β = (180° - 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70°.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Basiswinkel von 65°. Wie groß ist der Winkel an der Spitze?
Erklärung: γ = 180° - 65° - 65° = 50°.
Kann ein gleichschenkliges Dreieck rechtwinklig sein?
Erklärung: Ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck hat die Winkel 90°, 45°, 45°. Die beiden Katheten sind gleich lang.
In einem Dreieck ist α die größte Winkelgröße. Welche Seite ist am längsten?
Erklärung: Seiten-Winkel-Beziehung: Dem größten Winkel liegt die längste Seite gegenüber.
Gibt es ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 9 cm, c = 4 cm?
Erklärung: Falsch! Dreiecksungleichung: a + c = 5 + 4 = 9. Da 9 nicht größer als b = 9 ist, kann kein Dreieck existieren.
Gibt es ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 8 cm, b = 4 cm, c = 5 cm?
Erklärung: Richtig! 4 + 5 = 9 > 8, 8 + 5 = 13 > 4, 8 + 4 = 12 > 5. Alle Dreiecksungleichungen sind erfüllt.
In einem Dreieck ABC ist a = 7 cm und b = 2 cm. Welche natürlichen Zahlen sind als Wert für c (in cm) möglich?
Erklärung: Dreiecksungleichung: |a - b| < c < a + b, also 5 < c < 9. Natürliche Zahlen: c ∈ {6, 7, 8}.
Der Außenwinkel eines Dreiecks bei C ist gleich der Summe der ___ Innenwinkel α + β.
Erklärung: Außenwinkelsatz: Der Außenwinkel bei C ist gleich α + β (Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel).
In einem Dreieck ABC ist α = 38,5° und β = 70,7°. Wie groß ist γ (in Grad, auf eine Dezimale)?
Erklärung: γ = 180° - 38,5° - 70,7° = 70,8°.
In einem Dreieck gilt α = β = γ. Um welches Dreieck handelt es sich?
Erklärung: Wenn alle Winkel gleich sind, gilt α = β = γ = 60°. Gleiche Winkel bedeuten gleiche Seiten: gleichseitig.
In einem Dreieck ist α = 20° und α + β = γ. Wie groß ist β?
Erklärung: α + β + γ = 180° und γ = α + β. Also 20° + β + (20° + β) = 180°, 40° + 2β = 180°, 2β = 140°, β = 70°. Probe: γ = 90°, Summe = 20° + 70° + 90° = 180°. ✓
Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig.
Erklärung: Richtig! Die Menge der gleichseitigen Dreiecke ist eine Teilmenge der gleichschenkligen, denn jedes gleichseitige Dreieck hat auch zwei gleich lange Seiten.
Ein Dreieck hat die Winkel α = 120°, β = 30°, γ = 30°. Welche besondere Eigenschaft hat es?
Erklärung: β = γ = 30°, also ist es gleichschenklig (Basiswinkelsatz). Da α = 120° > 90°, ist es stumpfwinklig.