Dreiecke und ihre Eigenschaften

Triangles and Their Properties

Mathematik Klasse 6 22 Aufgaben
GeometrieDreieckeWinkel

Dreiecke lassen sich nach Seiten und Winkeln einteilen — nach Seiten in ungleichseitig, gleichschenklig (zwei gleiche Schenkel) oder gleichseitig, nach Winkeln in spitz-, recht- oder stumpfwinklig. Der Innenwinkelsatz α + β + γ = 180° erlaubt es, aus zwei Winkeln den dritten zu finden. Der Basiswinkelsatz verknüpft gleiche Seiten mit gleichen Winkeln, und die Dreiecksungleichung sagt, wann drei Seitenlängen überhaupt ein Dreieck bilden: jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen.

Voraussetzungen (1)

Winkel messen und zeichnen
Klasse 5
›

Ermöglicht (2)

Regelmäßige und unregelmäßige Vielecke
Klasse 6
›
Vierecke: Parallelogramm, Trapez, Drachen
Klasse 6
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Wie heißt ein Dreieck, bei dem alle Seiten verschieden lang sind?

  • ● Unregelmäßiges Dreieck
  • ○ Gleichschenkliges Dreieck
  • ○ Gleichseitiges Dreieck
  • ○ Rechtwinkliges Dreieck
Ein Dreieck mit drei verschiedenen Seitenlängen heißt unregelmäßig (oder ungleichseitig).
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind...

  • ● mindestens zwei Seiten gleich lang
  • ○ alle drei Seiten gleich lang
  • ○ alle Seiten verschieden lang
  • ○ zwei Winkel rechte Winkel
Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten (die Schenkel). Auch gleichseitige Dreiecke zählen dazu.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt ___°.

✓ Antwort: 180
Innenwinkelsatz: α + β + γ = 180°.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

In einem Dreieck sind α = 55° und β = 73°. Wie groß ist γ?

✓ Antwort: 52
γ = 180° - 55° - 73° = 52°.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

In einem gleichseitigen Dreieck: Wie groß ist jeder Innenwinkel?

✓ Antwort: 60
Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich: 180° ÷ 3 = 60°.
Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

In einem Dreieck ABC ist α = 90° und β = 35°. Wie groß ist γ?

✓ Antwort: 55
γ = 180° - 90° - 35° = 55°.
Multiple Choice #7 10s ▶ Testen

Wie heißt ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel (> 90°)?

  • ● Stumpfwinkliges Dreieck
  • ○ Rechtwinkliges Dreieck
  • ○ Spitzwinkliges Dreieck
  • ○ Gleichseitiges Dreieck
Ein Dreieck mit einem Winkel größer als 90° heißt stumpfwinklig.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein Dreieck kann zwei rechte Winkel haben.

✓ Falsch
Falsch! 90° + 90° = 180°, dann bliebe für den dritten Winkel 0°. Das ist kein Dreieck.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.

✓ Wahr
Richtig! Der Basiswinkelsatz besagt: Wenn a = b, dann α = β.
Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

In einem Dreieck gilt α = β = γ. Um welches Dreieck handelt es sich?

  • ● Ein gleichseitiges Dreieck
  • ○ Ein rechtwinkliges Dreieck
  • ○ Ein stumpfwinkliges Dreieck
  • ○ Ein unregelmäßiges Dreieck
Wenn alle Winkel gleich sind, gilt α = β = γ = 60°. Gleiche Winkel bedeuten gleiche Seiten: gleichseitig.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig.

✓ Wahr
Richtig! Die Menge der gleichseitigen Dreiecke ist eine Teilmenge der gleichschenkligen, denn jedes gleichseitige Dreieck hat auch zwei gleich lange Seiten.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Winkel γ = 40° an der Spitze. Wie groß sind die Basiswinkel?

✓ Antwort: 70
α = β = (180° - 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70°.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Basiswinkel von 65°. Wie groß ist der Winkel an der Spitze?

✓ Antwort: 50
γ = 180° - 65° - 65° = 50°.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Kann ein gleichschenkliges Dreieck rechtwinklig sein?

  • ● Ja, mit den Winkeln 90°, 45°, 45°
  • ○ Nein, das ist unmöglich
  • ○ Nur wenn es gleichseitig ist
  • ○ Ja, mit den Winkeln 90°, 90°, 0°
Ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck hat die Winkel 90°, 45°, 45°. Die beiden Katheten sind gleich lang.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

In einem Dreieck ist α die größte Winkelgröße. Welche Seite ist am längsten?

  • ● Die Seite a gegenüber von α
  • ○ Die Seite b gegenüber von β
  • ○ Alle Seiten sind gleich lang
  • ○ Man kann das nicht sagen
Seiten-Winkel-Beziehung: Dem größten Winkel liegt die längste Seite gegenüber.
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Gibt es ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 9 cm, c = 4 cm?

✓ Falsch
Falsch! Dreiecksungleichung: a + c = 5 + 4 = 9. Da 9 nicht größer als b = 9 ist, kann kein Dreieck existieren.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Gibt es ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 8 cm, b = 4 cm, c = 5 cm?

✓ Wahr
Richtig! 4 + 5 = 9 > 8, 8 + 5 = 13 > 4, 8 + 4 = 12 > 5. Alle Dreiecksungleichungen sind erfüllt.
Lückentext #7 20s ▶ Testen

Der Außenwinkel eines Dreiecks bei C ist gleich der Summe der ___ Innenwinkel α + β.

✓ Antwort: nicht anliegenden
Außenwinkelsatz: Der Außenwinkel bei C ist gleich α + β (Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel).
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

In einem Dreieck ABC ist α = 38,5° und β = 70,7°. Wie groß ist γ (in Grad, auf eine Dezimale)?

✓ Antwort: 70.8
γ = 180° - 38,5° - 70,7° = 70,8°.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Winkel α = 120°, β = 30°, γ = 30°. Welche besondere Eigenschaft hat es?

  • ● Es ist gleichschenklig und stumpfwinklig
  • ○ Es ist gleichseitig
  • ○ Es ist rechtwinklig
  • ○ Es ist unregelmäßig
β = γ = 30°, also ist es gleichschenklig (Basiswinkelsatz). Da α = 120° > 90°, ist es stumpfwinklig.
Schwer
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

In einem Dreieck ABC ist a = 7 cm und b = 2 cm. Welche natürlichen Zahlen sind als Wert für c (in cm) möglich?

  • ● 6, 7, 8
  • ○ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
  • ○ 5, 6, 7, 8, 9
  • ○ Jede Zahl
Dreiecksungleichung: |a - b| < c < a + b, also 5 < c < 9. Natürliche Zahlen: c ∈ {6, 7, 8}.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

In einem Dreieck ist α = 20° und α + β = γ. Wie groß ist β?

✓ Antwort: 70
α + β + γ = 180° und γ = α + β. Also 20° + β + (20° + β) = 180°, 40° + 2β = 180°, 2β = 140°, β = 70°. Probe: γ = 90°, Summe = 20° + 70° + 90° = 180°. ✓