Eine Waage ist im Gleichgewicht: links liegen x + 3 Kugeln, rechts 8 Kugeln. Was darf man tun, damit sie im Gleichgewicht bleibt?

Erklärung: Das Gleichgewicht bleibt nur erhalten, wenn auf beiden Seiten dasselbe geschieht. Übrig bleibt x = 5.

Aus x + 4 = 10 entsteht durch Addieren von 2 auf beiden Seiten die Gleichung x + 6 = 12. Beide Gleichungen haben dieselbe Lösung.

Erklärung: Ja — dieselbe Zahl auf beiden Seiten addiert ist eine Äquivalenzumformung: Beide Seiten bleiben gleich viel wert, die Lösung x = 6 ändert sich nicht.

Jonas formt x + 5 = 12 so um: x = 12 + 5 = 17. Seine Umformung ist eine Äquivalenzumformung.

Erklärung: Wer nur den Merkspruch „wandert auf die andere Seite" anwendet und das Vorzeichen vergisst, verlässt das Gleichgewicht. Richtig ist: auf beiden Seiten 5 subtrahieren, also x = 7.

Welche Gleichung ist äquivalent zu 2x = 10 (hat also dieselbe Lösung)?

Erklärung: Beide Seiten durch 2 geteilt — die Lösungsmenge {5} bleibt gleich.

Lisa formt um: 3x + 2 = 14, also 3x = 12. Was hat sie auf beiden Seiten getan?

Erklärung: Links wie rechts wurde 2 abgezogen — deshalb ist die neue Gleichung äquivalent.

Lena rechnet 6 + 3 und schreibt in einer Zeile: „6 + 3 = 9 + 2 = 11". Beide Gleichheitszeichen sind richtig gesetzt.

Erklärung: Das Gleichheitszeichen ist ein Vergleichszeichen: Beide Seiten müssen gleich viel wert sein. In Lenas Kette stünde 6 + 3 = 11 — das stimmt nicht. Es kündigt nicht einfach das nächste Ergebnis an.

Tim behauptet, x = 4 sei eine Lösung von 5x − 3 = 17. Welche Rechnung ist die richtige Probe?

Erklärung: Bei der Probe wird 4 für x eingesetzt: 5x heißt 5 · 4, davon 3 abziehen — beide Seiten sind 17, die Behauptung stimmt. Wer 5 + 4 rechnet, liest 5x als Plus; wer erst 4 − 3 rechnet, missachtet Punkt vor Strich.

Welche Umformung von x − 4 = 9 ist KEINE Äquivalenzumformung?

Erklärung: Wer nur auf einer Seite etwas ändert, bringt die Waage aus dem Gleichgewicht — die Lösung ändert sich.

Mia multipliziert beide Seiten von 2x = 10 mit 0 und erhält 0 = 0. Die neue Gleichung ist äquivalent zur alten.

Erklärung: 0 = 0 stimmt für jede Zahl x — die Lösungsmenge ist plötzlich riesig statt {5}. Multiplizieren mit 0 ist deshalb keine Äquivalenzumformung.

Anna löst 4x = 20 und schreibt: „x = 20 − 4 = 16." Welche Rechnung löst die Gleichung richtig?

Erklärung: 4x heißt 4 · x. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division: beide Seiten durch 4 teilen. Annas Subtraktion behandelt 4x wie 4 + x.

Die Gleichungen x + 7 = 12 und x = 5 haben dieselbe Lösungsmenge. Man nennt sie ___ (äquivalent/verschieden).

Erklärung: Äquivalente Gleichungen haben genau dieselbe Lösungsmenge.

Auf beiden Seiten der Gleichung 2x + 6 = 10 wird durch 2 geteilt. Welche Gleichung entsteht?

Erklärung: Es muss jede ganze Seite geteilt werden — also auch die 6. Wer nur 2x teilt, verändert den Wert der linken Seite.

Die Gleichungen 3x = 15 und 3x + 1 = 16 sind äquivalent.

Erklärung: Auf beiden Seiten wurde 1 addiert — beide haben die Lösung x = 5.

x ist die Lösung von x + 9 = 14. Dann ist x = ___.

Erklärung: Auf beiden Seiten 9 subtrahieren — oder durch Einsetzen prüfen. 5 + 9 = 14 ✓.

Beide Seiten mit derselben Zahl zu multiplizieren ist eine Äquivalenzumformung — nur diese Zahl darf nicht ___ sein.

Erklärung: Mal 0 wird aus jeder Gleichung 0 = 0, und das stimmt für jede Zahl. Die Lösungsmenge ändert sich, also ist das keine Äquivalenzumformung.

Ben multipliziert beide Seiten von 3x = 12 mit 0 und erhält 0 = 0. Welche Zahlen erfüllen die neue Gleichung?

Erklärung: 0 = 0 ist für jedes x wahr. Die alte Gleichung hatte nur die Lösung 4 — die Lösungsmenge hat sich verändert, darum ist „mal 0“ keine Äquivalenzumformung.

Aufgabe 1 von 16