Gleichungen im Gleichgewicht — Äquivalenzumformungen verstehen

Equations in balance — understanding equivalence transformations

Mathematik Klasse 7 16 Aufgaben

AlgebraGleichungenKerncurriculum

Eine Gleichung ist eine Waage im Gleichgewicht: Führt man auf beiden Seiten dieselbe Operation aus — dieselbe Zahl addieren, mit derselben Zahl (≠ 0) multiplizieren —, bleibt die Lösungsmenge unverändert, und man erhält eine äquivalente Gleichung. Das rechtfertigt jedes Umformen, das der Merkspruch „auf die andere Seite bringen" nur verkürzt und ohne Begründung beschreibt (Malle 1993). Das Gleichheitszeichen steht dabei relational — beide Seiten sind gleich viel wert —, es kündigt kein Ergebnis an. Die Probe durch Einsetzen bleibt das Wahrheitskriterium und trägt das systematische Lösen linearer Gleichungen.

Voraussetzungen (2)

Variable und Gleichungen

Ermöglicht (1)

Lineare Gleichungen

Klasse 7

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Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Eine Waage ist im Gleichgewicht: links liegen x + 3 Kugeln, rechts 8 Kugeln. Was darf man tun, damit sie im Gleichgewicht bleibt?

● Auf beiden Seiten 3 Kugeln wegnehmen
○ Nur links 3 Kugeln wegnehmen
○ Nur rechts 3 Kugeln dazulegen

Das Gleichgewicht bleibt nur erhalten, wenn auf beiden Seiten dasselbe geschieht. Übrig bleibt x = 5.

Wahr / Falsch #2 10s ▶ Testen

Aus x + 4 = 10 entsteht durch Addieren von 2 auf beiden Seiten die Gleichung x + 6 = 12. Beide Gleichungen haben dieselbe Lösung.

✓ Wahr

Ja — dieselbe Zahl auf beiden Seiten addiert ist eine Äquivalenzumformung: Beide Seiten bleiben gleich viel wert, die Lösung x = 6 ändert sich nicht.

Multiple Choice #3 12s ▶ Testen

Welche Gleichung ist äquivalent zu 2x = 10 (hat also dieselbe Lösung)?

● x = 5
○ 2x = 5
○ x = 10

Beide Seiten durch 2 geteilt — die Lösungsmenge {5} bleibt gleich.

Multiple Choice #4 12s ▶ Testen

Lisa formt um: 3x + 2 = 14, also 3x = 12. Was hat sie auf beiden Seiten getan?

● 2 subtrahiert
○ 2 addiert
○ durch 3 geteilt

Links wie rechts wurde 2 abgezogen — deshalb ist die neue Gleichung äquivalent.

Wahr / Falsch #5 10s ▶ Testen

Lena rechnet 6 + 3 und schreibt in einer Zeile: „6 + 3 = 9 + 2 = 11". Beide Gleichheitszeichen sind richtig gesetzt.

✓ Falsch

Das Gleichheitszeichen ist ein Vergleichszeichen: Beide Seiten müssen gleich viel wert sein. In Lenas Kette stünde 6 + 3 = 11 — das stimmt nicht. Es kündigt nicht einfach das nächste Ergebnis an.

Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Tim behauptet, x = 4 sei eine Lösung von 5x − 3 = 17. Welche Rechnung ist die richtige Probe?

● 5 · 4 − 3 = 20 − 3 = 17
○ 5 + 4 − 3 = 9 − 3 = 6
○ 5 · 4 − 3 = 5 · 1 = 5

Bei der Probe wird 4 für x eingesetzt: 5x heißt 5 · 4, davon 3 abziehen — beide Seiten sind 17, die Behauptung stimmt. Wer 5 + 4 rechnet, liest 5x als Plus; wer erst 4 − 3 rechnet, missachtet Punkt vor Strich.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Mia multipliziert beide Seiten von 2x = 10 mit 0 und erhält 0 = 0. Die neue Gleichung ist äquivalent zur alten.

✓ Falsch

0 = 0 stimmt für jede Zahl x — die Lösungsmenge ist plötzlich riesig statt {5}. Multiplizieren mit 0 ist deshalb keine Äquivalenzumformung.

Wahr / Falsch #8 12s ▶ Testen

Die Gleichungen 3x = 15 und 3x + 1 = 16 sind äquivalent.

✓ Wahr

Auf beiden Seiten wurde 1 addiert — beide haben die Lösung x = 5.

Lückentext #9 10s ▶ Testen

x ist die Lösung von x + 9 = 14. Dann ist x = ___.

✓ Antwort: 5

Auf beiden Seiten 9 subtrahieren — oder durch Einsetzen prüfen. 5 + 9 = 14 ✓.

Mittel

Wahr / Falsch #1 12s ▶ Testen

Jonas formt x + 5 = 12 so um: x = 12 + 5 = 17. Seine Umformung ist eine Äquivalenzumformung.

✓ Falsch

Wer nur den Merkspruch „wandert auf die andere Seite" anwendet und das Vorzeichen vergisst, verlässt das Gleichgewicht. Richtig ist: auf beiden Seiten 5 subtrahieren, also x = 7.

Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Welche Umformung von x − 4 = 9 ist KEINE Äquivalenzumformung?

● Nur links 4 addieren
○ Auf beiden Seiten 4 addieren
○ Beide Seiten mit 2 multiplizieren

Wer nur auf einer Seite etwas ändert, bringt die Waage aus dem Gleichgewicht — die Lösung ändert sich.

Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Anna löst 4x = 20 und schreibt: „x = 20 − 4 = 16." Welche Rechnung löst die Gleichung richtig?

● x = 20 : 4 = 5
○ x = 20 − 4 = 16
○ x = 20 · 4 = 80

4x heißt 4 · x. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division: beide Seiten durch 4 teilen. Annas Subtraktion behandelt 4x wie 4 + x.

Lückentext #4 10s ▶ Testen

Die Gleichungen x + 7 = 12 und x = 5 haben dieselbe Lösungsmenge. Man nennt sie ___ (äquivalent/verschieden).

✓ Antwort: äquivalent

Äquivalente Gleichungen haben genau dieselbe Lösungsmenge.

Lückentext #5 15s ▶ Testen

Beide Seiten mit derselben Zahl zu multiplizieren ist eine Äquivalenzumformung — nur diese Zahl darf nicht ___ sein.

✓ Antwort: 0

Mal 0 wird aus jeder Gleichung 0 = 0, und das stimmt für jede Zahl. Die Lösungsmenge ändert sich, also ist das keine Äquivalenzumformung.

Schwer

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Auf beiden Seiten der Gleichung 2x + 6 = 10 wird durch 2 geteilt. Welche Gleichung entsteht?

● x + 3 = 5
○ x + 6 = 5
○ 2x + 3 = 5

Es muss jede ganze Seite geteilt werden — also auch die 6. Wer nur 2x teilt, verändert den Wert der linken Seite.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ben multipliziert beide Seiten von 3x = 12 mit 0 und erhält 0 = 0. Welche Zahlen erfüllen die neue Gleichung?

● Jede Zahl
○ Nur 4
○ Keine Zahl

0 = 0 ist für jedes x wahr. Die alte Gleichung hatte nur die Lösung 4 — die Lösungsmenge hat sich verändert, darum ist „mal 0“ keine Äquivalenzumformung.