Dreieckskonstruktionen
Welche drei Angaben bestimmen ein Dreieck nach SSS?
Erklärung: SSS: Seite-Seite-Seite. Drei Seitenlängen bestimmen ein Dreieck eindeutig.
Vor der Konstruktion zeichnet Ali eine kleine, nicht maßstabsgetreue Skizze seines Dreiecks und trägt alle gegebenen Größen ein. Was hat er angefertigt?
Erklärung: Eine Planfigur ist genau so eine beschriftete Skizze zur Planung — sie muss nicht maßstabsgetreu sein. Eine Konstruktionsbeschreibung besteht aus Sätzen, eine maßstäbliche Zeichnung ist die fertige Konstruktion.
Ein Kreis geht durch die Ecken A und B eines Dreiecks, aber nicht durch C. Dieser Kreis ist der Umkreis des Dreiecks.
Erklärung: Falsch. Der Umkreis muss durch alle drei Eckpunkte gehen — auch durch C.
Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks?
Erklärung: Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten.
Wo liegt der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks?
Erklärung: Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Ein Kreis liegt im Inneren eines Dreiecks. Er berührt zwei Seiten, die dritte Seite schneidet er in zwei Punkten. Dieser Kreis ist der Inkreis.
Erklärung: Falsch. Der Inkreis berührt jede der drei Seiten in genau einem Punkt — er darf keine Seite schneiden.
Die Höhe eines Dreiecks steht ___ auf der zugehörigen Seite.
Erklärung: Die Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite (oder deren Verlängerung).
Gegeben ist ein Dreieck mit a = 7 cm, hₐ = 4 cm und β = 50°. In welcher Reihenfolge wird konstruiert?
Erklärung: Man zeichnet a, trägt β an, und bestimmt den dritten Punkt mithilfe einer Parallelen zu a im Abstand hₐ.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
Erklärung: Richtig. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb, bei spitzwinkligen innerhalb und bei rechtwinkligen auf der Hypotenuse.
Ein Dreieck hat die Seiten a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Ist es rechtwinklig? Berechne a² + b².
Erklärung: a² + b² = 25 + 144 = 169 = 13² = c². Ja, es ist rechtwinklig (nach dem Satz des Pythagoras).
Wie viele Höhen hat ein Dreieck?
Erklärung: Jedes Dreieck hat drei Höhen: von jeder Ecke auf die gegenüberliegende Seite.
Der Schnittpunkt der drei Höhen eines Dreiecks heißt ___.
Erklärung: Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt (Orthozentrum).
Für die Konstruktion eines Dreiecks aus Bestimmungsstücken ist eine Planfigur hilfreich, aber nicht zwingend nötig.
Erklärung: Richtig. Eine Planfigur hilft bei der Planung der Konstruktionsschritte, ist aber kein Pflichtbestandteil.
Ein Turm ist 50 m entfernt. Der Blickwinkel zur Turmspitze beträgt 30°. Wie kann man die Höhe bestimmen?
Erklärung: Man zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck maßstäblich (Grundseite 50 m, Winkel 30°) und misst die Höhe ab.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist 10 cm lang. Wie groß ist der Umkreisradius?
Erklärung: Der Umkreismittelpunkt liegt in der Mitte der Hypotenuse. Radius = 10/2 = 5 cm.
Welche Konstruktion benötigt man, um den Inkreis eines Dreiecks zu zeichnen?
Erklärung: Man konstruiert die Winkelhalbierenden (Schnittpunkt = Inkreismittelpunkt), fällt ein Lot auf eine Seite und erhält den Inkreisradius.
Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis und genau einen Inkreis.
Erklärung: Richtig. Jedes Dreieck besitzt genau einen Umkreis (durch alle drei Ecken) und genau einen Inkreis (berührt alle drei Seiten).