Dreieckskonstruktionen

Triangle Constructions

Mathematik Klasse 7 17 Aufgaben
GeometrieDreieckeKonstruierenUm- und Inkreis

Aus drei gegebenen StĂŒcken lĂ€sst sich ein Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren, und der passende Kongruenzsatz (SSS, SWS, WSW, SSW) sagt, ob das Ergebnis eindeutig ist. Nicht jede Angabe fĂŒhrt zu genau einem Dreieck: Die Dreiecksungleichung a + b > c entscheidet ĂŒber die Existenz, der SSW-Fall kann zwei Lösungen liefern. Ortslinien liefern besondere Punkte — die drei Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt, die drei Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt. Die Konstruktionsbeschreibung hĂ€lt den Weg nachvollziehbar fest.

Voraussetzungen (2)

Kongruenz und KongruenzsÀtze
Klasse 7
â€ș
Ortslinien — Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Klasse 7
â€ș

Ermöglicht (1)

Pythagoras als FlÀchensatz
Klasse 9
â€ș
Leicht
Multiple Choice #1 10s ▶ Testen

Welche drei Angaben bestimmen ein Dreieck nach SSS?

  • ○ Drei Winkel
  • ● Drei Seiten
  • ○ Zwei Seiten und ein Winkel
SSS: Seite-Seite-Seite. Drei SeitenlÀngen bestimmen ein Dreieck eindeutig.
Multiple Choice #2 12s ▶ Testen

Vor der Konstruktion zeichnet Ali eine kleine, nicht maßstabsgetreue Skizze seines Dreiecks und trĂ€gt alle gegebenen GrĂ¶ĂŸen ein. Was hat er angefertigt?

  • ● eine Planfigur
  • ○ eine Konstruktionsbeschreibung
  • ○ eine maßstĂ€bliche Zeichnung
Eine Planfigur ist genau so eine beschriftete Skizze zur Planung — sie muss nicht maßstabsgetreu sein. Eine Konstruktionsbeschreibung besteht aus SĂ€tzen, eine maßstĂ€bliche Zeichnung ist die fertige Konstruktion.
Wahr / Falsch #3 10s ▶ Testen

Ein Kreis geht durch die Ecken A und B eines Dreiecks, aber nicht durch C. Dieser Kreis ist der Umkreis des Dreiecks.

✓ Falsch
Falsch. Der Umkreis muss durch alle drei Eckpunkte gehen — auch durch C.
Wahr / Falsch #4 12s ▶ Testen

Ein Kreis liegt im Inneren eines Dreiecks. Er berĂŒhrt zwei Seiten, die dritte Seite schneidet er in zwei Punkten. Dieser Kreis ist der Inkreis.

✓ Falsch
Falsch. Der Inkreis berĂŒhrt jede der drei Seiten in genau einem Punkt — er darf keine Seite schneiden.
LĂŒckentext #5 10s ▶ Testen

Die Höhe eines Dreiecks steht ___ auf der zugehörigen Seite.

✓ Antwort: senkrecht
Die Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die gegenĂŒberliegende Seite (oder deren VerlĂ€ngerung).
Multiple Choice #6 10s ▶ Testen

Wie viele Höhen hat ein Dreieck?

  • ○ 1
  • ○ 2
  • ● 3
  • ○ Unendlich viele
Jedes Dreieck hat drei Höhen: von jeder Ecke auf die gegenĂŒberliegende Seite.
Wahr / Falsch #7 10s ▶ Testen

FĂŒr die Konstruktion eines Dreiecks aus BestimmungsstĂŒcken ist eine Planfigur hilfreich, aber nicht zwingend nötig.

✓ Wahr
Richtig. Eine Planfigur hilft bei der Planung der Konstruktionsschritte, ist aber kein Pflichtbestandteil.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis und genau einen Inkreis.

✓ Wahr
Richtig. Jedes Dreieck besitzt genau einen Umkreis (durch alle drei Ecken) und genau einen Inkreis (berĂŒhrt alle drei Seiten).
Mittel
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks?

  • ○ Im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
  • ● Im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
  • ○ Im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Wo liegt der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks?

  • ○ Im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
  • ● Im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
  • ○ Im Schnittpunkt der Höhen
Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Gegeben ist ein Dreieck mit a = 7 cm, hₐ = 4 cm und ÎČ = 50°. In welcher Reihenfolge wird konstruiert?

  • ○ Seite a, dann Höhe hₐ, dann Winkel ÎČ
  • ○ Winkel ÎČ, Seite a, Höhe hₐ
  • ● Seite a, Winkel ÎČ, dann Parallelverschiebung fĂŒr hₐ
  • ○ Höhe hₐ, dann a, dann ÎČ
Man zeichnet a, trĂ€gt ÎČ an, und bestimmt den dritten Punkt mithilfe einer Parallelen zu a im Abstand hₐ.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

✓ Wahr
Richtig. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb, bei spitzwinkligen innerhalb und bei rechtwinkligen auf der Hypotenuse.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Ist es rechtwinklig? Berechne aÂČ + bÂČ.

✓ Antwort: 169
aÂČ + bÂČ = 25 + 144 = 169 = 13ÂČ = cÂČ. Ja, es ist rechtwinklig (nach dem Satz des Pythagoras).
LĂŒckentext #6 15s ▶ Testen

Der Schnittpunkt der drei Höhen eines Dreiecks heißt ___.

✓ Antwort: Höhenschnittpunkt
Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt (Orthozentrum).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Turm ist 50 m entfernt. Der Blickwinkel zur Turmspitze betrÀgt 30°. Wie kann man die Höhe bestimmen?

  • ○ Mit dem Satz des Thales
  • ● Durch maßstĂ€bliche Dreieckszeichnung
  • ○ Durch Berechnung des Umkreises
  • ○ Mit der Innenwinkelsumme
Man zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck maßstĂ€blich (Grundseite 50 m, Winkel 30°) und misst die Höhe ab.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist 10 cm lang. Wie groß ist der Umkreisradius?

✓ Antwort: 5
Der Umkreismittelpunkt liegt in der Mitte der Hypotenuse. Radius = 10/2 = 5 cm.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Konstruktion benötigt man, um den Inkreis eines Dreiecks zu zeichnen?

  • ○ Mittelsenkrechten
  • ● Winkelhalbierenden und ein Lot
  • ○ Seitenhalbierende
  • ○ Höhen
Man konstruiert die Winkelhalbierenden (Schnittpunkt = Inkreismittelpunkt), fÀllt ein Lot auf eine Seite und erhÀlt den Inkreisradius.