Ortslinien — Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Welche Punkte bilden einen Kreis um den Punkt M mit Radius 3 cm?
Erklärung: Der Kreis ist eine Ortslinie — die Menge aller Punkte mit genau diesem Abstand vom Mittelpunkt.
Ein Punkt P liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB. Was gilt fĂĽr P?
Erklärung: Das ist die Ortslinieneigenschaft der Mittelsenkrechten — jeder ihrer Punkte hat zu A und B denselben Abstand.
Nur der Mittelpunkt der Strecke AB ist von A und B gleich weit entfernt.
Erklärung: Alle Punkte der Mittelsenkrechten sind von A und B gleich weit entfernt — der Streckenmittelpunkt ist nur einer davon.
Welche Ortslinie gehört zu der Bedingung „gleich weit entfernt von beiden Schenkeln eines Winkels"?
Erklärung: Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, die von beiden Schenkeln denselben Abstand haben.
Zwei Häuser stehen bei A und B. Wo kann ein Brunnen liegen, der von beiden Häusern gleich weit entfernt ist?
Erklärung: Gesucht ist die Ortslinie „gleicher Abstand zu A und B" — das ist die ganze Mittelsenkrechte, nicht nur der Mittelpunkt.
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt.
Erklärung: Er liegt auf allen drei Mittelsenkrechten, hat also zu je zwei Ecken gleichen Abstand — und damit zu allen dreien. Deshalb ist er der Umkreismittelpunkt.
In einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten auĂźerhalb des Dreiecks; M ist 5 cm von A entfernt. Welcher Kreis geht durch alle drei Ecken?
Erklärung: M liegt auf allen drei Mittelsenkrechten und hat deshalb von A, B und C denselben Abstand — hier 5 cm. Also liegen alle Ecken auf dem Kreis um M mit diesem Radius (Umkreis). Ob M innen oder außen liegt, spielt keine Rolle.
Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der …
Erklärung: Der Inkreis berührt alle drei Seiten — sein Mittelpunkt braucht gleichen Abstand zu den Seiten, und das leisten die Winkelhalbierenden.
Die Mittelsenkrechte der Strecke AB ist zugleich ihre Symmetrieachse.
Erklärung: Spiegelt man an der Mittelsenkrechten, tauschen A und B die Plätze — die Strecke wird auf sich selbst abgebildet.
Lena sagt: „Die Mittelsenkrechte ist die Linie, die die Strecke halbiert." Was fehlt an ihrer Beschreibung?
Erklärung: Durch den Mittelpunkt gehen viele Geraden — nur die senkrechte ist die Mittelsenkrechte mit der Gleich-Abstand-Eigenschaft.
Ein Sender soll gleich weit von den Orten A, B und C stehen. Wie findet man den Standort?
Erklärung: Gleich weit von A und B heißt Mittelsenkrechte von AB; gleich weit von B und C heißt Mittelsenkrechte von BC — der Schnittpunkt erfüllt beides.
Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden liegt gleich weit von den beiden Schenkeln des Winkels entfernt — egal wie weit er vom Scheitel weg ist.
Erklärung: Die Ortslinieneigenschaft gilt für jeden Punkt der Winkelhalbierenden, nah am Scheitel wie fern.
Die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M genau den Abstand r haben, heiĂźt ___ um M.
Erklärung: Das ist die Ortslinien-Definition des Kreises — mit Mittelpunkt M und Radius r.