Ortslinien — Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Locus lines — perpendicular bisector and angle bisector

Mathematik Klasse 7 13 Aufgaben
GeometrieKonstruierenKerncurriculum

Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, die eine bestimmte Abstandsbedingung erfüllen: Der Kreis ist die Menge aller Punkte mit festem Abstand vom Mittelpunkt, die Mittelsenkrechte die Menge aller Punkte, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind, die Winkelhalbierende die Menge aller Punkte mit gleichem Abstand von beiden Schenkeln (Weigand et al., Didaktik der Geometrie). Aus dieser definierenden Eigenschaft folgt, warum sich die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt treffen und dieser der Umkreismittelpunkt ist — er ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt. So bekommen die Konstruktionen von Um- und Inkreis ihre Begründung, statt auswendig gelernter Schritte.

Voraussetzungen (1)

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie
Klasse 7
›

Ermöglicht (2)

Dreieckskonstruktionen
Klasse 7
›
Kreis: Grundbegriffe
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche Punkte bilden einen Kreis um den Punkt M mit Radius 3 cm?

  • ● Alle Punkte, die genau 3 cm von M entfernt sind
  • ○ Alle Punkte, die höchstens 3 cm von M entfernt sind
  • ○ Drei Punkte im Abstand von je 1 cm
Der Kreis ist eine Ortslinie — die Menge aller Punkte mit genau diesem Abstand vom Mittelpunkt.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Ein Punkt P liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB. Was gilt für P?

  • ● P ist von A und B gleich weit entfernt
  • ○ P liegt genau in der Mitte von AB
  • ○ P ist von A weiter entfernt als von B
Das ist die Ortslinieneigenschaft der Mittelsenkrechten — jeder ihrer Punkte hat zu A und B denselben Abstand.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Welche Ortslinie gehört zu der Bedingung „gleich weit entfernt von beiden Schenkeln eines Winkels"?

  • ● Die Winkelhalbierende
  • ○ Die Mittelsenkrechte
  • ○ Der Kreis um den Scheitel
Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, die von beiden Schenkeln denselben Abstand haben.
Wahr / Falsch #4 12s ▶ Testen

Die Mittelsenkrechte der Strecke AB ist zugleich ihre Symmetrieachse.

✓ Wahr
Spiegelt man an der Mittelsenkrechten, tauschen A und B die Plätze — die Strecke wird auf sich selbst abgebildet.
Wahr / Falsch #5 12s ▶ Testen

Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden liegt gleich weit von den beiden Schenkeln des Winkels entfernt — egal wie weit er vom Scheitel weg ist.

✓ Wahr
Die Ortslinieneigenschaft gilt für jeden Punkt der Winkelhalbierenden, nah am Scheitel wie fern.
Lückentext #6 10s ▶ Testen

Die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M genau den Abstand r haben, heißt ___ um M.

✓ Antwort: Kreis
Das ist die Ortslinien-Definition des Kreises — mit Mittelpunkt M und Radius r.
Mittel
Wahr / Falsch #1 12s ▶ Testen

Nur der Mittelpunkt der Strecke AB ist von A und B gleich weit entfernt.

✓ Falsch
Alle Punkte der Mittelsenkrechten sind von A und B gleich weit entfernt — der Streckenmittelpunkt ist nur einer davon.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Zwei Häuser stehen bei A und B. Wo kann ein Brunnen liegen, der von beiden Häusern gleich weit entfernt ist?

  • ● Irgendwo auf der Mittelsenkrechten von AB
  • ○ Nur genau zwischen den Häusern
  • ○ Irgendwo auf der Strecke AB
Gesucht ist die Ortslinie „gleicher Abstand zu A und B" — das ist die ganze Mittelsenkrechte, nicht nur der Mittelpunkt.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt.

✓ Wahr
Er liegt auf allen drei Mittelsenkrechten, hat also zu je zwei Ecken gleichen Abstand — und damit zu allen dreien. Deshalb ist er der Umkreismittelpunkt.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

In einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks; M ist 5 cm von A entfernt. Welcher Kreis geht durch alle drei Ecken?

  • ○ Keiner, weil M außerhalb liegt
  • ○ Ein Kreis um die Dreiecksmitte mit 5 cm
  • ● Der Kreis um M mit Radius 5 cm
M liegt auf allen drei Mittelsenkrechten und hat deshalb von A, B und C denselben Abstand — hier 5 cm. Also liegen alle Ecken auf dem Kreis um M mit diesem Radius (Umkreis). Ob M innen oder außen liegt, spielt keine Rolle.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der …

  • ● Winkelhalbierenden
  • ○ Mittelsenkrechten
  • ○ Seitenhalbierenden
Der Inkreis berührt alle drei Seiten — sein Mittelpunkt braucht gleichen Abstand zu den Seiten, und das leisten die Winkelhalbierenden.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Lena sagt: „Die Mittelsenkrechte ist die Linie, die die Strecke halbiert." Was fehlt an ihrer Beschreibung?

  • ● Dass die Linie senkrecht auf der Strecke steht
  • ○ Dass die Linie durch beide Endpunkte geht
  • ○ Nichts — die Beschreibung ist vollständig
Durch den Mittelpunkt gehen viele Geraden — nur die senkrechte ist die Mittelsenkrechte mit der Gleich-Abstand-Eigenschaft.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein Sender soll gleich weit von den Orten A, B und C stehen. Wie findet man den Standort?

  • ● Als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AB und BC
  • ○ Als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
  • ○ Als Mittelpunkt der Strecke AC
Gleich weit von A und B heißt Mittelsenkrechte von AB; gleich weit von B und C heißt Mittelsenkrechte von BC — der Schnittpunkt erfüllt beides.