Zufallsexperimente und relative Häufigkeit
Welcher Vorgang ist ein Zufallsexperiment?
Erklärung: Die möglichen Ergebnisse stehen fest (1 bis 6), aber welcher Ausgang kommt, ist nicht vorhersagbar — das macht ein Zufallsexperiment aus.
Ein Würfel wird 50-mal geworfen, 8-mal fällt die Sechs. Die relative Häufigkeit der Sechs ist 8/50 = ___ (als Dezimalzahl).
Erklärung: Relative Häufigkeit = Anzahl der Treffer geteilt durch Anzahl aller Versuche — 8 geteilt durch 50.
Beim Münzwurf ist fünfmal hintereinander Wappen gefallen. Jetzt ist Zahl „dran" und daher wahrscheinlicher.
Erklärung: Die Münze erinnert sich nicht an frühere Würfe — bei jedem Wurf sind Wappen und Zahl wieder gleich wahrscheinlich.
Ein Reißnagel landet beim Werfen auf „Kopf" oder „Seite". Sind beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich?
Erklärung: Zwei mögliche Ergebnisse heißt nicht 50 : 50. Beim unsymmetrischen Reißnagel entscheidet die Form — die relative Häufigkeit verrät die Wahrscheinlichkeit.
Was besagt das empirische Gesetz der groĂźen Zahlen?
Erklärung: Je öfter man wiederholt, desto weniger schwankt die relative Häufigkeit — sie pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.
Beim Würfeln bezeichnet „eine gerade Zahl werfen" (also 2, 4 oder 6) …
Erklärung: Ergebnisse sind die einzelnen Ausgänge (1–6); ein Ereignis fasst Ergebnisse zusammen — hier die drei geraden.
Wenn man eine Münze 1000-mal wirft, fällt garantiert genau 500-mal Wappen.
Erklärung: Die relative Häufigkeit liegt sehr wahrscheinlich nahe 0,5 — aber genau 500 Treffer sind nicht garantiert. Stabil wird der Anteil, nicht die Anzahl.
Zwei Gruppen werfen denselben Quader. Gruppe A wirft 20-mal, Gruppe B 500-mal. Wessen relative Häufigkeiten sagen mehr über die Wahrscheinlichkeiten aus?
Erklärung: Erst bei vielen Wiederholungen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten — 20 Würfe schwanken noch stark.
In einer Klasse wurden 25 Schüler gefragt, 10 kommen mit dem Rad. Die relative Häufigkeit der Radfahrer ist ___ % .
Erklärung: 10 von 25 ist 10/25 = 0,4 — also 40 %.
Beim Lotto ist die Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6 unwahrscheinlicher als die Reihe 7, 13, 18, 25, 31, 44.
Erklärung: Jede feste Zahlenreihe hat exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit — die „gemischte" wirkt nur typischer für Zufall.
Ein Glücksrad hat ein großes rotes und drei kleine blaue Felder. Timo sagt: „Vier Felder, also je 1/4." Was ist der Denkfehler?
Erklärung: Gleichwahrscheinlich sind Ergebnisse nur bei gleicher Chance — hier zählt die Fläche, nicht die Anzahl der Felder.
Beim Werfen eines Reißnagels fiel in 200 Würfen 130-mal „Seite". Welche Wahrscheinlichkeit für „Seite" ist die beste Schätzung?
Erklärung: Die stabilisierte relative Häufigkeit 130/200 = 0,65 ist die beste verfügbare Schätzung der Wahrscheinlichkeit.
Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0,9 kann bei einem einzelnen Versuch trotzdem ausbleiben.
Erklärung: Wahrscheinlichkeit beschreibt die lange Sicht, keinen Einzelfall — auch Unwahrscheinliches passiert manchmal.
Ein fairer WĂĽrfel wird 600-mal geworfen. Welches Ergebnis ist am wahrscheinlichsten?
Erklärung: Zwischen 80 und 120 Sechsen fallen in etwa 98 von 100 Versuchsreihen. Genau 100 ist zwar die häufigste einzelne Anzahl, kommt aber nur in etwa 4 von 100 Versuchsreihen vor – der Würfel verteilt nicht genau gerecht, nur der Anteil kommt nahe an 1/6. Weniger als 70 Sechsen passiert seltener als in 1 von 1000 Versuchsreihen.
Ein GlĂĽcksrad mit zwei gleich groĂźen Feldern, Rot und Blau, wird zweimal gedreht. Was ist wahrscheinlicher?
Erklärung: Es gibt vier gleich wahrscheinliche Pfade: RR, RB, BR, BB. Zu „einmal Rot, einmal Blau" führen zwei davon (RB und BR), zu „zweimal Rot" nur einer. Also 2/4 gegen 1/4. Jeder einzelne Pfad ist gleich wahrscheinlich – aber nicht jedes Ergebnis.
Eine faire Münze wird fünfmal geworfen. Die Folge KKKKK ist genauso wahrscheinlich wie die Folge KZZKZ, nämlich je 1/___.
Erklärung: Jeder Wurf hat zwei gleich wahrscheinliche Ausgänge, also gibt es 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 Folgen, jede mit 1/32. „Ordentlich“ aussehende Folgen sind nicht seltener.
Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen. Lea wettet auf die Folge 6 – 6 – 6, Ben auf 2 – 5 – 3. Wer hat die bessere Chance?
Erklärung: Es gibt 6 · 6 · 6 = 216 gleich wahrscheinliche Folgen. Selten ist das Ereignis „drei gleiche Augenzahlen“, nicht die einzelne Folge 6 – 6 – 6 — sie ist genauso selten wie 2 – 5 – 3.