Zufallsexperimente und relative Häufigkeit

Random experiments and relative frequency

Mathematik Klasse 7 17 Aufgaben
WahrscheinlichkeitRelative HäufigkeitenDatenKerncurriculum

Bei vielfachem Wiederholen stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses, während die absolute Häufigkeit weiter schwankt — das empirische Gesetz der großen Zahlen (Krüger, Sill & Sikora 2015). Ein Zufallsexperiment hat feste mögliche Ergebnisse, aber unvorhersagbaren Ausgang; Ereignisse fassen Ergebnisse zusammen. Zwei Fehlvorstellungen werden gezielt konfrontiert: der Glaube, nach fünfmal Wappen sei Zahl „dran" (Ausgleichsdenken), und der Equiprobability-Bias, alle Ergebnisse seien gleichwahrscheinlich (Lecoutre 1992) — beim Reißnagel oder Quader sind sie es nicht. Das ist die Grundvorstellung vor der Laplace-Regel.

Voraussetzungen (1)

KĂĽrzen, Erweitern und Vergleichen von BrĂĽchen
Klasse 6
›

Ermöglicht (1)

Laplace-Wahrscheinlichkeit
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s â–¶ Testen

Welcher Vorgang ist ein Zufallsexperiment?

  • â—Ź Einen WĂĽrfel werfen
  • â—‹ Wasser auf 100 °C erhitzen
  • â—‹ 7 + 5 ausrechnen
Die möglichen Ergebnisse stehen fest (1 bis 6), aber welcher Ausgang kommt, ist nicht vorhersagbar — das macht ein Zufallsexperiment aus.
LĂĽckentext #2 20s â–¶ Testen

Ein Würfel wird 50-mal geworfen, 8-mal fällt die Sechs. Die relative Häufigkeit der Sechs ist 8/50 = ___ (als Dezimalzahl).

âś“ Antwort: 0,16
Relative Häufigkeit = Anzahl der Treffer geteilt durch Anzahl aller Versuche — 8 geteilt durch 50.
Multiple Choice #3 15s â–¶ Testen

Beim Würfeln bezeichnet „eine gerade Zahl werfen" (also 2, 4 oder 6) …

  • â—Ź ein Ereignis, das mehrere Ergebnisse zusammenfasst
  • â—‹ ein einzelnes Ergebnis
  • â—‹ ein unmögliches Ereignis
Ergebnisse sind die einzelnen Ausgänge (1–6); ein Ereignis fasst Ergebnisse zusammen — hier die drei geraden.
LĂĽckentext #4 20s â–¶ Testen

In einer Klasse wurden 25 Schüler gefragt, 10 kommen mit dem Rad. Die relative Häufigkeit der Radfahrer ist ___ % .

âś“ Antwort: 40
10 von 25 ist 10/25 = 0,4 — also 40 %.
Wahr / Falsch #5 15s â–¶ Testen

Beim Lotto ist die Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6 unwahrscheinlicher als die Reihe 7, 13, 18, 25, 31, 44.

âś“ Falsch
Jede feste Zahlenreihe hat exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit — die „gemischte" wirkt nur typischer für Zufall.
Multiple Choice #6 20s â–¶ Testen

Beim Werfen eines Reißnagels fiel in 200 Würfen 130-mal „Seite". Welche Wahrscheinlichkeit für „Seite" ist die beste Schätzung?

  • â—Ź etwa 0,65
  • â—‹ genau 0,5
  • â—‹ etwa 0,35
Die stabilisierte relative Häufigkeit 130/200 = 0,65 ist die beste verfügbare Schätzung der Wahrscheinlichkeit.
Wahr / Falsch #7 12s â–¶ Testen

Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0,9 kann bei einem einzelnen Versuch trotzdem ausbleiben.

âś“ Wahr
Wahrscheinlichkeit beschreibt die lange Sicht, keinen Einzelfall — auch Unwahrscheinliches passiert manchmal.
Mittel
Wahr / Falsch #1 12s â–¶ Testen

Beim Münzwurf ist fünfmal hintereinander Wappen gefallen. Jetzt ist Zahl „dran" und daher wahrscheinlicher.

âś“ Falsch
Die Münze erinnert sich nicht an frühere Würfe — bei jedem Wurf sind Wappen und Zahl wieder gleich wahrscheinlich.
Multiple Choice #2 20s â–¶ Testen

Ein Reißnagel landet beim Werfen auf „Kopf" oder „Seite". Sind beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich?

  • â—Ź Nicht unbedingt — das zeigt erst das Experiment
  • â—‹ Ja, denn es gibt nur zwei Ergebnisse
  • â—‹ Ja, bei jedem Zufallsexperiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich
Zwei mögliche Ergebnisse heißt nicht 50 : 50. Beim unsymmetrischen Reißnagel entscheidet die Form — die relative Häufigkeit verrät die Wahrscheinlichkeit.
Multiple Choice #3 20s â–¶ Testen

Was besagt das empirische Gesetz der groĂźen Zahlen?

  • â—Ź Bei vielen Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit
  • â—‹ Bei vielen Wiederholungen werden alle Ergebnisse gleich oft kommen
  • â—‹ GroĂźe Zahlen sind wahrscheinlicher als kleine
Je öfter man wiederholt, desto weniger schwankt die relative Häufigkeit — sie pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.
Wahr / Falsch #4 15s â–¶ Testen

Wenn man eine Münze 1000-mal wirft, fällt garantiert genau 500-mal Wappen.

âś“ Falsch
Die relative Häufigkeit liegt sehr wahrscheinlich nahe 0,5 — aber genau 500 Treffer sind nicht garantiert. Stabil wird der Anteil, nicht die Anzahl.
Multiple Choice #5 20s â–¶ Testen

Zwei Gruppen werfen denselben Quader. Gruppe A wirft 20-mal, Gruppe B 500-mal. Wessen relative Häufigkeiten sagen mehr über die Wahrscheinlichkeiten aus?

  • â—Ź Die von Gruppe B, wegen der vielen Wiederholungen
  • â—‹ Die von Gruppe A, weil kleine Reihen genauer sind
  • â—‹ Beide gleich viel
Erst bei vielen Wiederholungen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten — 20 Würfe schwanken noch stark.
Multiple Choice #6 20s â–¶ Testen

Ein Glücksrad hat ein großes rotes und drei kleine blaue Felder. Timo sagt: „Vier Felder, also je 1/4." Was ist der Denkfehler?

  • â—Ź Er behandelt ungleich groĂźe Felder als gleich wahrscheinlich
  • â—‹ Er hat die Felder falsch gezählt
  • â—‹ Es gibt keinen Fehler
Gleichwahrscheinlich sind Ergebnisse nur bei gleicher Chance — hier zählt die Fläche, nicht die Anzahl der Felder.
Multiple Choice #7 20s â–¶ Testen

Ein fairer WĂĽrfel wird 600-mal geworfen. Welches Ergebnis ist am wahrscheinlichsten?

  • â—Ź 80 bis 120 Sechsen
  • â—‹ Genau 100 Sechsen
  • â—‹ Weniger als 70 Sechsen
Zwischen 80 und 120 Sechsen fallen in etwa 98 von 100 Versuchsreihen. Genau 100 ist zwar die häufigste einzelne Anzahl, kommt aber nur in etwa 4 von 100 Versuchsreihen vor – der Würfel verteilt nicht genau gerecht, nur der Anteil kommt nahe an 1/6. Weniger als 70 Sechsen passiert seltener als in 1 von 1000 Versuchsreihen.
Multiple Choice #8 20s â–¶ Testen

Ein GlĂĽcksrad mit zwei gleich groĂźen Feldern, Rot und Blau, wird zweimal gedreht. Was ist wahrscheinlicher?

  • â—Ź Einmal Rot und einmal Blau
  • â—‹ Zweimal Rot
  • â—‹ Beides gleich wahrscheinlich
Es gibt vier gleich wahrscheinliche Pfade: RR, RB, BR, BB. Zu „einmal Rot, einmal Blau" führen zwei davon (RB und BR), zu „zweimal Rot" nur einer. Also 2/4 gegen 1/4. Jeder einzelne Pfad ist gleich wahrscheinlich – aber nicht jedes Ergebnis.
LĂĽckentext #9 25s â–¶ Testen

Eine faire Münze wird fünfmal geworfen. Die Folge KKKKK ist genauso wahrscheinlich wie die Folge KZZKZ, nämlich je 1/___.

âś“ Antwort: 32
Jeder Wurf hat zwei gleich wahrscheinliche Ausgänge, also gibt es 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 Folgen, jede mit 1/32. „Ordentlich“ aussehende Folgen sind nicht seltener.
Schwer
Multiple Choice #1 25s â–¶ Testen

Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen. Lea wettet auf die Folge 6 – 6 – 6, Ben auf 2 – 5 – 3. Wer hat die bessere Chance?

  • â—Ź Beide gleich, jede Folge hat 1/216
  • â—‹ Ben, denn drei Sechsen hintereinander sind selten
  • â—‹ Lea, denn die Sechs ist schon „dran“
Es gibt 6 · 6 · 6 = 216 gleich wahrscheinliche Folgen. Selten ist das Ereignis „drei gleiche Augenzahlen“, nicht die einzelne Folge 6 – 6 – 6 — sie ist genauso selten wie 2 – 5 – 3.