Die Kreiszahl π — Umfang durch Durchmesser
Mia misst an einer Dose: Umfang 26,4 cm, Durchmesser 8,4 cm. Was erhält sie, wenn sie Umfang durch Durchmesser teilt?
Erklärung: Umfang geteilt durch Durchmesser ergibt bei jedem Kreis (bis auf Messungenauigkeit) denselben Wert — π.
Bei einem großen Rad ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser größer als bei einer kleinen Münze.
Erklärung: Das Verhältnis ist bei allen Kreisen gleich — genau das macht π zu einer festen Zahl, unabhängig von der Kreisgröße.
Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 70 cm. Wie lang ist sein Umfang ungefähr (Überschlag mit π ≈ 3)?
Erklärung: Umfang ≈ 3 · Durchmesser = 3 · 70 cm = 210 cm — der Überschlag „mal 3" reicht für eine erste Schätzung.
Ï€ ist genau 3,14.
Erklärung: 3,14 ist eine Näherung. Die Dezimaldarstellung von π bricht nie ab und wiederholt sich nie — π ist keine rationale Zahl.
Ein Kreis mit d = 6 cm liegt in einem Quadrat, das ihn an allen vier Seiten berührt. Das Quadrat hat den Umfang 24 cm. Welcher Wert passt zum Kreisumfang?
Erklärung: Der Kreis liegt innen im Quadrat, sein Umfang ist also kürzer als 4 · d = 24 cm: π · 6 cm ≈ 18,8 cm. Weil das für jeden Kreis gilt, muss π kleiner als 4 sein.
Ein regelmäßiges Sechseck im Kreis (Ecken auf dem Kreis) hat den Umfang 3 · d. Was folgt daraus für π?
Erklärung: Der Kreisbogen ist überall länger als die Sechseckseite, die innen abkürzt — also ist der Kreisumfang π · d länger als 3 · d.
Auch der Bruch 22/7 ist nur eine Näherung für π, kein exakter Wert.
Erklärung: 22/7 ≈ 3,1429 liegt nahe bei π, aber π lässt sich durch keinen Bruch exakt darstellen.
Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Sein Umfang liegt zwischen 30 cm und 40 cm, ungefähr bei ___ cm (Rechnung mit π ≈ 3,14).
Erklärung: Umfang = π · d ≈ 3,14 · 10 = 31,4 cm.
Timo wickelt eine Schnur einmal um einen Baumstamm: 157 cm. Wie dick ist der Stamm ungefähr (Durchmesser, π ≈ 3,14)?
Erklärung: Durchmesser = Umfang ÷ π ≈ 157 ÷ 3,14 = 50 cm — das Verhältnis lässt sich auch rückwärts nutzen.
Verdoppelt man den Durchmesser eines Kreises, verdoppelt sich auch sein Umfang.
Erklärung: Umfang = π · d — π bleibt gleich, doppelter Durchmesser heißt doppelter Umfang.
Welche Zahl ist wie π nicht rational?
Erklärung: Rationale Zahlen lassen sich als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben; ihre Dezimaldarstellung bricht ab oder wird periodisch: 0,125 = 1/8 und 0,121212… = 12/99 = 4/33. Bei 0,101001000100001… werden die Nullen-Blöcke immer länger — die Zahl endet nie und wiederholt sich nie in einem festen Muster. Genau so ist es bei π: Es lässt sich nicht als Bruch schreiben.
Anna misst an drei verschieden großen Tellern jeweils Umfang und Durchmesser und teilt. Sie erhält 3,12, 3,15 und 3,13. Warum sind die Werte nicht exakt gleich?
Erklärung: Das Verhältnis ist mathematisch bei jedem Kreis exakt π — die Streuung kommt vom Messen mit Schnur und Lineal.
Umfang ≈ 3 · Durchmesser ist ein guter Überschlag, weil π nur wenig größer als ___ ist.
Erklärung: π ≈ 3,14 — der Faktor 3 unterschätzt den Umfang nur leicht.