Die Kreiszahl π — Umfang durch Durchmesser

The number π — circumference over diameter

Mathematik Klasse 8 13 Aufgaben
GeometrieKreiseIrrationale ZahlenKerncurriculum

π ist das konstante Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, gleich für jeden Kreis: Umfang geteilt durch Durchmesser ergibt an Dosen, Rädern und Münzen stets ungefähr 3,14 — unabhängig von der Kreisgröße (Kreismessung nach Weigand et al.). Ein- und umbeschriebene Vielecke grenzen ein, warum π zwischen 3 und 4 liegen muss; der Überschlag Umfang ≈ 3 · Durchmesser reicht oft schon. π ist zugleich die erste nicht rationale Zahl der Schule: 3,14 und 22/7 sind nur Näherungen, die Dezimaldarstellung bricht nie ab und wird nie periodisch. Dieses Verhältnis trägt die Umfangs- und Flächenformeln, statt sie zu Merksätzen zu machen.

Voraussetzungen (1)

Kreis: Grundbegriffe
Klasse 8
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Ermöglicht (2)

Kreisumfang und Kreisfläche
Klasse 8
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Wie lang ist eine Küste? — Messschritt und Koch-Kurve
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Mia misst an einer Dose: Umfang 26,4 cm, Durchmesser 8,4 cm. Was erhält sie, wenn sie Umfang durch Durchmesser teilt?

  • ● Ungefähr 3,14 — die Kreiszahl π
  • ○ Genau 3
  • ○ Den Radius der Dose
Umfang geteilt durch Durchmesser ergibt bei jedem Kreis (bis auf Messungenauigkeit) denselben Wert — π.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 70 cm. Wie lang ist sein Umfang ungefähr (Überschlag mit π ≈ 3)?

  • ● Gut 2 m
  • ○ Etwa 1 m
  • ○ Etwa 4,5 m
Umfang ≈ 3 · Durchmesser = 3 · 70 cm = 210 cm — der Überschlag „mal 3" reicht für eine erste Schätzung.
Wahr / Falsch #3 10s ▶ Testen

π ist genau 3,14.

✓ Falsch
3,14 ist eine Näherung. Die Dezimaldarstellung von π bricht nie ab und wiederholt sich nie — π ist keine rationale Zahl.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Sein Umfang liegt zwischen 30 cm und 40 cm, ungefähr bei ___ cm (Rechnung mit π ≈ 3,14).

✓ Antwort: 31,4
Umfang = π · d ≈ 3,14 · 10 = 31,4 cm.
Wahr / Falsch #5 12s ▶ Testen

Verdoppelt man den Durchmesser eines Kreises, verdoppelt sich auch sein Umfang.

✓ Wahr
Umfang = π · d — π bleibt gleich, doppelter Durchmesser heißt doppelter Umfang.
Lückentext #6 12s ▶ Testen

Umfang ≈ 3 · Durchmesser ist ein guter Überschlag, weil π nur wenig größer als ___ ist.

✓ Antwort: 3
π ≈ 3,14 — der Faktor 3 unterschätzt den Umfang nur leicht.
Mittel
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Bei einem großen Rad ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser größer als bei einer kleinen Münze.

✓ Falsch
Das Verhältnis ist bei allen Kreisen gleich — genau das macht π zu einer festen Zahl, unabhängig von der Kreisgröße.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein Kreis mit d = 6 cm liegt in einem Quadrat, das ihn an allen vier Seiten berührt. Das Quadrat hat den Umfang 24 cm. Welcher Wert passt zum Kreisumfang?

  • ● Etwa 19 cm
  • ○ Etwa 24 cm
  • ○ Etwa 27 cm
Der Kreis liegt innen im Quadrat, sein Umfang ist also kürzer als 4 · d = 24 cm: π · 6 cm ≈ 18,8 cm. Weil das für jeden Kreis gilt, muss π kleiner als 4 sein.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein regelmäßiges Sechseck im Kreis (Ecken auf dem Kreis) hat den Umfang 3 · d. Was folgt daraus für π?

  • ● π ist größer als 3
  • ○ π ist genau 3
  • ○ π ist kleiner als 3
Der Kreisbogen ist überall länger als die Sechseckseite, die innen abkürzt — also ist der Kreisumfang π · d länger als 3 · d.
Wahr / Falsch #4 12s ▶ Testen

Auch der Bruch 22/7 ist nur eine Näherung für π, kein exakter Wert.

✓ Wahr
22/7 ≈ 3,1429 liegt nahe bei π, aber π lässt sich durch keinen Bruch exakt darstellen.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Timo wickelt eine Schnur einmal um einen Baumstamm: 157 cm. Wie dick ist der Stamm ungefähr (Durchmesser, π ≈ 3,14)?

  • ● Etwa 50 cm
  • ○ Etwa 15 cm
  • ○ Etwa 100 cm
Durchmesser = Umfang ÷ π ≈ 157 ÷ 3,14 = 50 cm — das Verhältnis lässt sich auch rückwärts nutzen.
Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Welche Zahl ist wie π nicht rational?

  • ○ 0,125
  • ● 0,101001000100001…
  • ○ 0,121212…
Rationale Zahlen lassen sich als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben; ihre Dezimaldarstellung bricht ab oder wird periodisch: 0,125 = 1/8 und 0,121212… = 12/99 = 4/33. Bei 0,101001000100001… werden die Nullen-Blöcke immer länger — die Zahl endet nie und wiederholt sich nie in einem festen Muster. Genau so ist es bei π: Es lässt sich nicht als Bruch schreiben.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Anna misst an drei verschieden großen Tellern jeweils Umfang und Durchmesser und teilt. Sie erhält 3,12, 3,15 und 3,13. Warum sind die Werte nicht exakt gleich?

  • ● Wegen Messungenauigkeiten — das wahre Verhältnis ist bei allen π
  • ○ Weil jeder Teller ein eigenes π hat
  • ○ Weil π nur für kleine Kreise gilt
Das Verhältnis ist mathematisch bei jedem Kreis exakt π — die Streuung kommt vom Messen mit Schnur und Lineal.