Lineare Funktionen
Was gibt der Parameter m in der Gleichung y = mx + t an?
ErklÀrung: m ist die Steigung: Sie gibt an, um wie viel y zunimmt, wenn x um 1 steigt.
Was gibt der Parameter t in der Gleichung y = mx + t an?
ErklÀrung: t ist der y-Achsenabschnitt: Der Graph schneidet die y-Achse bei (0|t).
Die Gerade y = 3x - 2 hat die Steigung m = ___ und den y-Achsenabschnitt t = ___.
ErklÀrung: Direkt ablesbar: m = 3 (vor x) und t = -2 (konstanter Term).
Bestimme den y-Achsenabschnitt der Geraden y = -4x + 7.
ErklÀrung: Der y-Achsenabschnitt ist t = 7. Man setzt x = 0 ein: y = -4 · 0 + 7 = 7.
Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x - 8.
ErklĂ€rung: 2x - 8 = 0 â 2x = 8 â x = 4.
Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -3x + 9.
ErklĂ€rung: -3x + 9 = 0 â -3x = -9 â x = 3.
Die Gerade g verlÀuft durch die Punkte A(0|3) und B(2|7). Berechne die Steigung m.
ErklĂ€rung: m = (yâ - yâ)/(xâ - xâ) = (7 - 3)/(2 - 0) = 4/2 = 2.
Berechne die Steigung der Geraden durch P(1|5) und Q(4|11).
ErklÀrung: m = (11 - 5)/(4 - 1) = 6/3 = 2.
Welche Gleichung hat eine Gerade mit Steigung -2 und y-Achsenabschnitt 5?
ErklÀrung: y = mx + t mit m = -2 und t = 5 ergibt y = -2x + 5.
Die Gerade durch P(0|4) mit der Steigung m = -3 hat die Gleichung y = ___.
ErklÀrung: P(0|4) liefert t = 4. Mit m = -3 ergibt sich y = -3x + 4.
Eine Gerade verlÀuft durch A(1|3) und B(3|9). Wie lautet die Funktionsgleichung?
ErklĂ€rung: m = (9 - 3)/(3 - 1) = 6/2 = 3. Einsetzen von A: 3 = 3 · 1 + t â t = 0. Also y = 3x.
Die Geraden y = 2x + 1 und y = 2x - 3 sind parallel.
ErklÀrung: Richtig. Beide Geraden haben die gleiche Steigung m = 2. Geraden mit gleicher Steigung sind parallel.
Eine Gerade mit negativer Steigung fÀllt von links nach rechts.
ErklĂ€rung: Richtig. Ist m < 0, sinkt der y-Wert bei steigendem x â die Gerade fĂ€llt.
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden y = x + 2 und y = 3x - 4.
ErklĂ€rung: Gleichsetzen: x + 2 = 3x - 4 â 2 + 4 = 3x - x â 6 = 2x â x = 3.
Bestimme die y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden y = x + 2 und y = 3x - 4.
ErklÀrung: x = 3 (aus Gleichsetzen). Einsetzen: y = 3 + 2 = 5.
Ein Taxitarif berechnet sich als K(x) = 2,50x + 3,80 (x in km). Was bedeutet die 3,80?
ErklĂ€rung: t = 3,80 ist der y-Achsenabschnitt, also die Kosten bei 0 km â die GrundgebĂŒhr.
Ein Handytarif kostet K(x) = 0,09x + 5 (x = Anzahl der Minuten). Berechne die Kosten fĂŒr 100 Minuten.
ErklĂ€rung: K(100) = 0,09 · 100 + 5 = 9 + 5 = 14 âŹ.
Steigt der y-Wert um 6, wenn der x-Wert um 2 steigt, dann ist die Steigung m = ___.
ErklĂ€rung: m = Îy/Îx = 6/2 = 3.
Stelle die Geradengleichung auf, die durch P(2|1) geht und die Steigung m = -2 hat. Berechne den y-Achsenabschnitt t.
ErklĂ€rung: y = mx + t â 1 = -2 · 2 + t â 1 = -4 + t â t = 5.
Der Graph von f(x) = mx geht immer durch welchen Punkt?
ErklÀrung: f(0) = m · 0 = 0. Jede Funktion f(x) = mx (ohne + n) geht durch den Ursprung (0|0).
Der Graph von f(x) = 3x + 2 entsteht aus dem Graphen von f(x) = 3x durch:
ErklÀrung: Das Addieren von n = 2 verschiebt den Graphen um 2 Einheiten nach oben (Parallelverschiebung).
Löse graphisch: 2x + 1 = 5. Bestimme die Lösung x.
ErklĂ€rung: Setze f(x) = 2x + 1 und suche x mit f(x) = 5. Also 2x + 1 = 5 â 2x = 4 â x = 2. Graphisch: Schnittpunkt von y = 2x + 1 mit y = 5.
Die Nullstelle der Funktion f(x) = -0,5x + 3 liegt bei x = ___.
ErklĂ€rung: -0,5x + 3 = 0 â -0,5x = -3 â x = 6.
Welche Funktion hat die gröĂte Steigung?
ErklĂ€rung: Die Steigungen sind 2, -3, 4 und 1. Die gröĂte Steigung ist 4 bei h(x) = 4x - 2.
Zwei verschiedene lineare Funktionen mit der gleichen Steigung haben keinen Schnittpunkt.
ErklĂ€rung: Richtig. Gleiche Steigung bedeutet parallele Geraden â sie schneiden sich nicht (sofern sie verschiedene y-Achsenabschnitte haben).
Ein Schwimmbecken enthÀlt 500 Liter Wasser. Es werden pro Minute 20 Liter abgelassen. Nach wie vielen Minuten ist das Becken leer?
ErklĂ€rung: f(x) = 500 - 20x. Nullstelle: 500 - 20x = 0 â x = 25 Minuten.
Der Anstieg m einer Geraden durch die Punkte Pâ(xâ|yâ) und Pâ(xâ|yâ) ist m = ___.
ErklĂ€rung: m = Îy/Îx = (yâ - yâ)/(xâ - xâ). Man berechnet die Steigung als Quotient aus der y-Differenz und der x-Differenz.