Lineare Gleichungssysteme
Löse mit dem Einsetzungsverfahren: y = 2x - 1 und y = x + 3. Berechne x.
Erklärung: Gleichsetzen: 2x - 1 = x + 3 → x = 4.
Löse: y = 2x - 1 und y = x + 3. Berechne y.
Erklärung: x = 4 einsetzen: y = 4 + 3 = 7.
Löse: x + y = 10 und x - y = 4. Berechne x.
Erklärung: Addieren: 2x = 14 → x = 7.
Löse: x + y = 10 und x - y = 4. Berechne y.
Erklärung: x = 7, also y = 10 - 7 = 3.
Löse mit dem Einsetzungsverfahren: y = 3x und 2x + y = 15. Was ist x?
Erklärung: y = 3x einsetzen: 2x + 3x = 15 → 5x = 15 → x = 3.
Löse: 3x + 2y = 16 und x = y + 1. Berechne y.
Erklärung: Einsetzen: 3(y + 1) + 2y = 16 → 3y + 3 + 2y = 16 → 5y = 13 → y = 2,6.
Das LGS y = 2x + 1 und y = 2x - 3 hat genau eine Lösung.
Erklärung: Falsch. Beide Geraden haben die Steigung 2, sind also parallel und schneiden sich nicht. Das System hat keine Lösung.
Wann hat ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten keine Lösung?
Erklärung: Parallele Geraden (gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte) schneiden sich nicht — keine Lösung.
Das LGS y = 3x - 2 und 2y = 6x - 4 hat unendlich viele Lösungen.
Erklärung: Richtig. 2y = 6x - 4 vereinfacht zu y = 3x - 2. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Löse: 2x + y = 10 und 3x - y = 5. Berechne x.
Erklärung: Addieren: (2x + y) + (3x - y) = 10 + 5 → 5x = 15 → x = 3.
Die Summe zweier Zahlen ist 25, ihre Differenz ist 7. Wie lauten die Gleichungen?
Erklärung: Summe = 25: x + y = 25. Differenz = 7: x - y = 7.
Die Summe zweier Zahlen ist 25, ihre Differenz ist 7. Berechne die größere Zahl.
Erklärung: x + y = 25 und x - y = 7. Addieren: 2x = 32 → x = 16.
Ein Kino verkauft Erwachsenenkarten für 10 € und Kinderkarten für 6 €. Insgesamt 50 Karten ergeben 380 €. Wie viele Erwachsenenkarten wurden verkauft?
Erklärung: x + y = 50 und 10x + 6y = 380. Aus 1.: y = 50 - x. Einsetzen: 10x + 6(50 - x) = 380 → 10x + 300 - 6x = 380 → 4x = 80 → x = 20.
Löse: y = -x + 5 und y = 2x - 1. Berechne x.
Erklärung: -x + 5 = 2x - 1 → 6 = 3x → x = 2.
Löse: y = -x + 5 und y = 2x - 1. Berechne y.
Erklärung: x = 2: y = -2 + 5 = 3.
Beim graphischen Lösen eines LGS sucht man den ___ der beiden Geraden.
Erklärung: Graphisch lösen bedeutet: Beide Geraden zeichnen und den Schnittpunkt ablesen.
Zwei Handytarife: A kostet 10 € + 0,05 €/min, B kostet 5 € + 0,10 €/min. Ab wie vielen Minuten ist A günstiger?
Erklärung: Gleichsetzen: 10 + 0,05x = 5 + 0,10x → 5 = 0,05x → x = 100. Bei 100 min gleich teuer, ab 101 min ist A günstiger.