Lineare Gleichungssysteme

Systems of Linear Equations

Mathematik Klasse 8 17 Aufgaben
AlgebraGleichungenLineare GleichungssystemeKerncurriculum

Ein lineares Gleichungssystem sucht die Werte, die zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen — grafisch der Schnittpunkt zweier Geraden, algebraisch über Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren. Beide Sichten kontrollieren einander, und die Form der Gleichungen entscheidet, welches Verfahren am schnellsten ist. Die Sonderfälle tragen das Verständnis: parallele Geraden ergeben keine Lösung (0 = 5), identische Geraden unendlich viele (0 = 0). Sachsituationen mit zwei Unbekannten — Tarifvergleich, Mischungsaufgaben — werden in Systeme übersetzt und in beiden Gleichungen geprüft.

Voraussetzungen (1)

Geradengleichungen aufstellen
Klasse 8
›

Ermöglicht (1)

Gleichungssysteme mit drei Variablen
Klasse 9
›
Leicht
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren: y = 2x - 1 und y = x + 3. Berechne x.

✓ Antwort: 4
Gleichsetzen: 2x - 1 = x + 3 → x = 4.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Löse: y = 2x - 1 und y = x + 3. Berechne y.

✓ Antwort: 7
x = 4 einsetzen: y = 4 + 3 = 7.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Löse: x + y = 10 und x - y = 4. Berechne x.

✓ Antwort: 7
Addieren: 2x = 14 → x = 7.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Löse: x + y = 10 und x - y = 4. Berechne y.

✓ Antwort: 3
x = 7, also y = 10 - 7 = 3.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren: y = 3x und 2x + y = 15. Was ist x?

  • ○ x = 2
  • ● x = 3
  • ○ x = 5
  • ○ x = 15
y = 3x einsetzen: 2x + 3x = 15 → 5x = 15 → x = 3.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Die Summe zweier Zahlen ist 25, ihre Differenz ist 7. Wie lauten die Gleichungen?

  • ● x + y = 25 und x - y = 7
  • ○ x · y = 25 und x + y = 7
  • ○ x + y = 7 und x - y = 25
  • ○ 2x + y = 25 und x - y = 7
Summe = 25: x + y = 25. Differenz = 7: x - y = 7.
Zahleneingabe #7 20s ▶ Testen

Löse: y = -x + 5 und y = 2x - 1. Berechne x.

✓ Antwort: 2
-x + 5 = 2x - 1 → 6 = 3x → x = 2.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Löse: y = -x + 5 und y = 2x - 1. Berechne y.

✓ Antwort: 3
x = 2: y = -2 + 5 = 3.
Lückentext #9 10s ▶ Testen

Beim graphischen Lösen eines LGS sucht man den ___ der beiden Geraden.

✓ Antwort: Schnittpunkt
Graphisch lösen bedeutet: Beide Geraden zeichnen und den Schnittpunkt ablesen.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse: 3x + 2y = 16 und x = y + 1. Berechne y.

✓ Antwort: 2.6
Einsetzen: 3(y + 1) + 2y = 16 → 3y + 3 + 2y = 16 → 5y = 13 → y = 2,6.
Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Das LGS y = 2x + 1 und y = 2x - 3 hat genau eine Lösung.

✓ Falsch
Falsch. Beide Geraden haben die Steigung 2, sind also parallel und schneiden sich nicht. Das System hat keine Lösung.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Wann hat ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten keine Lösung?

  • ○ Wenn die Geraden sich schneiden
  • ● Wenn die Geraden parallel sind (verschiedene y-Achsenabschnitte)
  • ○ Wenn die Geraden identisch sind
  • ○ Wenn eine Gerade die x-Achse schneidet
Parallele Geraden (gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte) schneiden sich nicht — keine Lösung.
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Das LGS y = 3x - 2 und 2y = 6x - 4 hat unendlich viele Lösungen.

✓ Wahr
Richtig. 2y = 6x - 4 vereinfacht zu y = 3x - 2. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Die Summe zweier Zahlen ist 25, ihre Differenz ist 7. Berechne die größere Zahl.

✓ Antwort: 16
x + y = 25 und x - y = 7. Addieren: 2x = 32 → x = 16.
Zahleneingabe #6 40s ▶ Testen

Ein Kino verkauft Erwachsenenkarten für 10 € und Kinderkarten für 6 €. Insgesamt 50 Karten ergeben 380 €. Wie viele Erwachsenenkarten wurden verkauft?

✓ Antwort: 20
x + y = 50 und 10x + 6y = 380. Aus 1.: y = 50 - x. Einsetzen: 10x + 6(50 - x) = 380 → 10x + 300 - 6x = 380 → 4x = 80 → x = 20.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Löse: 2x + y = 10 und 3x - y = 5. Berechne x.

✓ Antwort: 3
Addieren: (2x + y) + (3x - y) = 10 + 5 → 5x = 15 → x = 3.
Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Zwei Handytarife: A kostet 10 € + 0,05 €/min, B kostet 5 € + 0,10 €/min. Ab wie vielen Minuten ist A günstiger?

  • ○ Ab 50 Minuten
  • ○ Ab 100 Minuten
  • ● Ab 101 Minuten
  • ○ Ab 200 Minuten
Gleichsetzen: 10 + 0,05x = 5 + 0,10x → 5 = 0,05x → x = 100. Bei 100 min gleich teuer, ab 101 min ist A günstiger.