Direkte und indirekte ProportionalitÀt
Zwei GröĂen sind direkt proportional, wenn ihr Quotient konstant ist.
ErklÀrung: Richtig. Bei direkter ProportionalitÀt gilt y/x = k (konstant), also y = k · x.
Zwei GröĂen sind indirekt proportional, wenn ihr Produkt konstant ist.
ErklÀrung: Richtig. Bei indirekter ProportionalitÀt gilt x · y = k (konstant), also y = k/x.
Welche Zuordnung ist direkt proportional?
ErklĂ€rung: 4 Brote kosten viermal so viel wie 1 Brot â Preis geteilt durch Anzahl ergibt immer denselben Brotpreis.
Welche Zuordnung ist indirekt proportional?
ErklĂ€rung: Bei gleicher Strecke gilt: Geschwindigkeit · Zeit = Strecke (konstant). Doppelte Geschwindigkeit â halbe Zeit.
3 kg Ăpfel kosten 6 âŹ. Wie viel kosten 5 kg? (Direkte ProportionalitĂ€t)
ErklĂ€rung: Preis pro kg: 6/3 = 2 âŹ/kg. Also 5 · 2 = 10 âŹ.
4 Arbeiter brauchen 12 Tage fĂŒr eine Aufgabe. Wie viele Tage brauchen 6 Arbeiter? (Indirekte ProportionalitĂ€t)
ErklĂ€rung: Produkt ist konstant: 4 · 12 = 48. Also 6 · t = 48 â t = 8 Tage.
Der Graph einer direkten ProportionalitÀt y = ax ist eine Gerade durch den ___.
ErklĂ€rung: FĂŒr x = 0 gilt y = a · 0 = 0. Die Gerade geht immer durch den Ursprung (0|0).
Welche Funktionsgleichung beschreibt eine direkte ProportionalitÀt?
ErklÀrung: Direkte ProportionalitÀt: y = a · x (Ursprungsgerade, kein y-Achsenabschnitt). Nur y = 3x hat diese Form.
y ist direkt proportional zu x. FĂŒr x = 4 gilt y = 20. Berechne y fĂŒr x = 7.
ErklÀrung: k = y/x = 20/4 = 5. Also y = 5 · 7 = 35.
y ist indirekt proportional zu x. FĂŒr x = 3 gilt y = 8. Berechne y fĂŒr x = 6.
ErklÀrung: k = x · y = 3 · 8 = 24. Also y = 24/6 = 4.
Der Graph einer indirekten ProportionalitÀt ist eine Hyperbel.
ErklÀrung: Richtig. y = k/x hat als Graphen eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten.
In der Physik gilt: Druck = Kraft / FlÀche. Bei konstanter Kraft: Wie hÀngen Druck und FlÀche zusammen?
ErklĂ€rung: Bei konstanter Kraft gilt p = F/A. Doppelte FlĂ€che â halber Druck. Das Produkt p · A = F ist konstant.
Ein Auto fÀhrt 180 km. Bei 60 km/h braucht es 3 Stunden. Wie lange braucht es bei 90 km/h?
ErklĂ€rung: Geschwindigkeit · Zeit = 180 km. Also 90 · t = 180 â t = 2 Stunden.
Die Zuordnung x â x + 5 ist eine direkte ProportionalitĂ€t.
ErklÀrung: Falsch. y = x + 5 hat einen y-Achsenabschnitt von 5 und geht nicht durch den Ursprung. Direkte ProportionalitÀt verlangt y = a · x.
Welche Tabelle zeigt eine indirekte ProportionalitÀt?
ErklĂ€rung: PrĂŒfe x · y: 2 · 12 = 24, 4 · 6 = 24, 6 · 4 = 24. Das Produkt ist konstant â indirekte ProportionalitĂ€t.
y ist direkt proportional zu x mit dem ProportionalitĂ€tsfaktor k = 2,5. Berechne y fĂŒr x = 8.
ErklÀrung: y = k · x = 2,5 · 8 = 20.
Ein Auto verbraucht 6 Liter Benzin auf 100 km. Wie viel Liter braucht es fĂŒr 350 km?
ErklĂ€rung: Direkte ProportionalitĂ€t: 6/100 = x/350 â x = 6 · 350/100 = 21 Liter.
Bei einer geradlinig gleichförmigen Bewegung sind Weg und Zeit direkt proportional.
ErklÀrung: Richtig. s = v · t mit konstantem v. Der Quotient s/t = v ist konstant.
5 Arbeiter erledigen eine Aufgabe in 12 Tagen. Wie viele Tage brauchen 3 Arbeiter? (Indirekte ProportionalitÀt)
ErklĂ€rung: 5 · 12 = 60. Also 3 · t = 60 â t = 20 Tage.
Bei einer Landkarte im MaĂstab 1:50000 sind 3 cm auf der Karte in Wirklichkeit:
ErklĂ€rung: 3 cm · 50000 = 150000 cm = 1500 m. (Direkte ProportionalitĂ€t zwischen Karten- und RealmaĂ.)
Eine Sonnenblume ist beim Einpflanzen 15 cm hoch und wÀchst jede Woche 5 cm. Nach 2 Wochen ist sie 25 cm hoch. Wie hoch ist sie nach 4 Wochen?
ErklĂ€rung: Nach 4 Wochen: 15 + 4 · 5 = 35 cm. Die Starthöhe von 15 cm wird nicht mitverdoppelt â deshalb nicht 2 · 25 = 50. Wer 20 rechnet, vergisst die Höhe beim Einpflanzen. GleichmĂ€Ăig wachsen heiĂt noch nicht proportional: Proportional wĂ€re es nur, wenn zu 0 Wochen auch 0 cm gehörten.
Auf einem Mensa-Gutschein sind 40 âŹ. Jeden Tag wird ein Essen fĂŒr 4 ⏠abgebucht. Nach 3 Tagen sind noch 28 âŹ ĂŒbrig. Wie viel ist nach 6 Tagen ĂŒbrig?
ErklĂ€rung: 40 ⏠â 6 · 4 ⏠= 16 âŹ. Jeden Tag geht derselbe Betrag ab â doppelte Zeit heiĂt nicht halber Rest (das wĂ€ren 14 âŹ). 56 ⏠verdoppelt die 28 âŹ, als wĂŒrde das Guthaben mit der Zeit wachsen. GleichmĂ€Ăig weniger werden ist weder proportional noch indirekt proportional.
Welche Zuordnung ist indirekt proportional?
ErklĂ€rung: Doppelt so viele Kinder bekommen halb so viele GummibĂ€rchen: 2 · 30 = 3 · 20 = 4 · 15 = 60, das Produkt bleibt gleich. Ein Spiel dauert gleich lang, egal wie viele mitspielen â da Ă€ndert sich gar nichts. Der Tank wird pro Kilometer um gleich viel leerer, nicht auf die HĂ€lfte: âje mehr, desto weniger" reicht nicht fĂŒr indirekt proportional.