Direkte und indirekte Proportionalität

Direct and Inverse Proportionality

Mathematik Klasse 8 23 Aufgaben
ProportionalitätFunktionenKerncurriculum

Direkte Proportionalität ist die lineare Funktion y = mx durch den Ursprung: doppelte Menge, doppelter Preis, und der Quotient y/x = m ist konstant. Indirekte (antiproportionale) Zuordnung gehorcht y = k/x mit konstantem Produkt — doppelt so viele Pumpen, halbe Zeit — und einem Graphen, der sich den Achsen nur nähert, ohne sie zu erreichen. Entscheidend ist die Modellfrage: proportional, antiproportional oder keins von beiden? Der Standardfehler ist, jede Zuordnung proportional zu behandeln („3 Ecken, 3 Minuten — 6 Ecken, 6 Minuten" auch wo es nicht passt; De Bock et al., „illusion of linearity").

Voraussetzungen (2)

Proportionalität und umgekehrte Proportionalität
Klasse 6
›
Funktionsbegriff
Klasse 8
›

Ermöglicht (1)

Quantitative Chemie – Stoffmenge und Molare Masse
Klasse 9
›
Leicht
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Zwei Größen sind direkt proportional, wenn ihr Quotient konstant ist.

✓ Wahr
Richtig. Bei direkter Proportionalität gilt y/x = k (konstant), also y = k · x.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Zwei Größen sind indirekt proportional, wenn ihr Produkt konstant ist.

✓ Wahr
Richtig. Bei indirekter Proportionalität gilt x · y = k (konstant), also y = k/x.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche Zuordnung ist direkt proportional?

  • ○ Anzahl Arbeiter → benötigte Zeit
  • ○ Geschwindigkeit → Fahrzeit bei gleicher Strecke
  • ● Anzahl Brote → Gesamtpreis
  • ○ Seitenlänge → Flächeninhalt eines Quadrats
4 Brote kosten viermal so viel wie 1 Brot — Preis geteilt durch Anzahl ergibt immer denselben Brotpreis.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Zuordnung ist indirekt proportional?

  • ○ Strecke → Zeit bei konstanter Geschwindigkeit
  • ● Geschwindigkeit → Fahrzeit bei gleicher Strecke
  • ○ Anzahl Äpfel → Gesamtgewicht
  • ○ Seitenlänge → Umfang eines Quadrats
Bei gleicher Strecke gilt: Geschwindigkeit · Zeit = Strecke (konstant). Doppelte Geschwindigkeit → halbe Zeit.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Funktionsgleichung beschreibt eine direkte Proportionalität?

  • ○ y = 3x + 2
  • ● y = 3x
  • ○ y = 3/x
  • ○ y = x² + 3
Direkte Proportionalität: y = a · x (Ursprungsgerade, kein y-Achsenabschnitt). Nur y = 3x hat diese Form.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Graph einer indirekten Proportionalität ist eine Hyperbel.

✓ Wahr
Richtig. y = k/x hat als Graphen eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

In der Physik gilt: Druck = Kraft / Fläche. Bei konstanter Kraft: Wie hängen Druck und Fläche zusammen?

  • ○ Direkt proportional
  • ● Indirekt proportional
  • ○ Gar nicht proportional
  • ○ Quadratisch
Bei konstanter Kraft gilt p = F/A. Doppelte Fläche → halber Druck. Das Produkt p · A = F ist konstant.
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Die Zuordnung x → x + 5 ist eine direkte Proportionalität.

✓ Falsch
Falsch. y = x + 5 hat einen y-Achsenabschnitt von 5 und geht nicht durch den Ursprung. Direkte Proportionalität verlangt y = a · x.
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Welche Tabelle zeigt eine indirekte Proportionalität?

  • ○ x: 2, 4, 6 → y: 4, 8, 12
  • ● x: 2, 4, 6 → y: 12, 6, 4
  • ○ x: 2, 4, 6 → y: 1, 2, 3
  • ○ x: 2, 4, 6 → y: 6, 8, 10
Prüfe x · y: 2 · 12 = 24, 4 · 6 = 24, 6 · 4 = 24. Das Produkt ist konstant → indirekte Proportionalität.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Bei einer geradlinig gleichförmigen Bewegung sind Weg und Zeit direkt proportional.

✓ Wahr
Richtig. s = v · t mit konstantem v. Der Quotient s/t = v ist konstant.
Multiple Choice #11 25s ▶ Testen

Eine Sonnenblume ist beim Einpflanzen 15 cm hoch und wächst jede Woche 5 cm. Nach 2 Wochen ist sie 25 cm hoch. Wie hoch ist sie nach 4 Wochen?

  • ● 35 cm
  • ○ 50 cm
  • ○ 20 cm
Nach 4 Wochen: 15 + 4 · 5 = 35 cm. Die Starthöhe von 15 cm wird nicht mitverdoppelt – deshalb nicht 2 · 25 = 50. Wer 20 rechnet, vergisst die Höhe beim Einpflanzen. Gleichmäßig wachsen heißt noch nicht proportional: Proportional wäre es nur, wenn zu 0 Wochen auch 0 cm gehörten.
Multiple Choice #12 25s ▶ Testen

Auf einem Mensa-Gutschein sind 40 €. Jeden Tag wird ein Essen für 4 € abgebucht. Nach 3 Tagen sind noch 28 € übrig. Wie viel ist nach 6 Tagen übrig?

  • ● 16 €
  • ○ 14 €
  • ○ 56 €
40 € − 6 · 4 € = 16 €. Jeden Tag geht derselbe Betrag ab – doppelte Zeit heißt nicht halber Rest (das wären 14 €). 56 € verdoppelt die 28 €, als würde das Guthaben mit der Zeit wachsen. Gleichmäßig weniger werden ist weder proportional noch indirekt proportional.
Multiple Choice #13 20s ▶ Testen

Welche Zuordnung ist indirekt proportional?

  • ● Anzahl Kinder, die sich 60 Gummibärchen teilen → Gummibärchen pro Kind
  • ○ Anzahl Spieler einer Fußballmannschaft → Dauer des Spiels
  • ○ Gefahrene Kilometer → Benzin im Tank
Doppelt so viele Kinder bekommen halb so viele Gummibärchen: 2 · 30 = 3 · 20 = 4 · 15 = 60, das Produkt bleibt gleich. Ein Spiel dauert gleich lang, egal wie viele mitspielen – da ändert sich gar nichts. Der Tank wird pro Kilometer um gleich viel leerer, nicht auf die Hälfte: „je mehr, desto weniger" reicht nicht für indirekt proportional.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

3 kg Äpfel kosten 6 €. Wie viel kosten 5 kg? (Direkte Proportionalität)

✓ Antwort: 10
Preis pro kg: 6/3 = 2 €/kg. Also 5 · 2 = 10 €.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

4 Arbeiter brauchen 12 Tage für eine Aufgabe. Wie viele Tage brauchen 6 Arbeiter? (Indirekte Proportionalität)

✓ Antwort: 8
Produkt ist konstant: 4 · 12 = 48. Also 6 · t = 48 → t = 8 Tage.
Lückentext #3 15s ▶ Testen

Der Graph einer direkten Proportionalität y = ax ist eine Gerade durch den ___.

✓ Antwort: Ursprung
Für x = 0 gilt y = a · 0 = 0. Die Gerade geht immer durch den Ursprung (0|0).
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

y ist direkt proportional zu x. Für x = 4 gilt y = 20. Berechne y für x = 7.

✓ Antwort: 35
k = y/x = 20/4 = 5. Also y = 5 · 7 = 35.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

y ist indirekt proportional zu x. Für x = 3 gilt y = 8. Berechne y für x = 6.

✓ Antwort: 4
k = x · y = 3 · 8 = 24. Also y = 24/6 = 4.
Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

y ist direkt proportional zu x mit dem Proportionalitätsfaktor k = 2,5. Berechne y für x = 8.

✓ Antwort: 20
y = k · x = 2,5 · 8 = 20.
Schwer
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein Auto fährt 180 km. Bei 60 km/h braucht es 3 Stunden. Wie lange braucht es bei 90 km/h?

✓ Antwort: 2
Geschwindigkeit · Zeit = 180 km. Also 90 · t = 180 → t = 2 Stunden.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Ein Auto verbraucht 6 Liter Benzin auf 100 km. Wie viel Liter braucht es für 350 km?

✓ Antwort: 21
Direkte Proportionalität: 6/100 = x/350 → x = 6 · 350/100 = 21 Liter.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

5 Arbeiter erledigen eine Aufgabe in 12 Tagen. Wie viele Tage brauchen 3 Arbeiter? (Indirekte Proportionalität)

✓ Antwort: 20
5 · 12 = 60. Also 3 · t = 60 → t = 20 Tage.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Bei einer Landkarte im Maßstab 1:50000 sind 3 cm auf der Karte in Wirklichkeit:

  • ○ 150 m
  • ● 1500 m
  • ○ 15 km
  • ○ 15 m
3 cm · 50000 = 150000 cm = 1500 m. (Direkte Proportionalität zwischen Karten- und Realmaß.)