Steigung als Änderungsrate
Kirschen kosten 4 € pro Kilogramm. Was bedeutet diese Zahl im Preis-Graphen?
Erklärung: Die Steigung ist eine Rate — Änderung des Preises pro Einheit Gewicht.
Ein Graph geht pro 1 Kästchen nach rechts immer 2 Kästchen nach oben. Wie groß ist die Steigung?
Erklärung: Steigung heißt: Änderung nach oben pro Schritt nach rechts — hier 2 pro 1, also 2.
Ein Graph, der weit oben verläuft, hat immer eine große Steigung.
Erklärung: Höhe und Steigung sind verschieden — ein Graph kann weit oben und trotzdem waagrecht (Steigung 0) verlaufen.
Ein Wanderer legt in jeder Stunde 4 km zurück. Ein zweiter schafft 4 km in einer halben Stunde. Wessen Weg-Zeit-Graph ist steiler?
Erklärung: Er schafft 8 km pro Stunde — mehr Weg pro Zeiteinheit heißt steilerer Graph.
Was bedeutet eine negative Steigung im Graphen eines Wasserstands über die Zeit?
Erklärung: Negative Steigung heißt — pro Zeiteinheit wird der Wert kleiner. Das Vorzeichen beschreibt die Richtung der Änderung, nicht den Wert.
Bei einem linearen Zusammenhang bewirken gleiche Schritte in x immer gleiche Schritte in y.
Erklärung: Genau das macht ihn linear — die Änderungsrate ist überall gleich, der Graph ist eine Gerade.
Ein Aufzug fährt gleichmäßig: In 2 Sekunden steigt er 6 Meter. Seine Steigung im Höhe-Zeit-Graphen beträgt ___ Meter pro Sekunde.
Erklärung: 6 Meter pro 2 Sekunden sind 3 Meter pro 1 Sekunde — die Rate wird immer auf eine Einheit bezogen.
Ein Handytarif kostet 10 € Grundgebühr und 0,20 € pro Minute. Welche Zahl ist die Änderungsrate der Kosten?
Erklärung: Die Grundgebühr steht fest — was sich pro Minute ändert, ist die Rate. Sie wird später zur Steigung m.
Im Steigungsdreieck eines Graphen gehören 3 Kästchen nach rechts und 3 Kästchen nach unten zusammen. Wie groß ist die Steigung?
Erklärung: 3 nach unten pro 3 nach rechts ist −3 pro 3, also −1 pro 1 Schritt.
Eine Steigung von 0 bedeutet, dass sich der zugeordnete Wert nicht ändert, egal wie x wächst.
Erklärung: Änderungsrate 0 — pro Schritt nach rechts geht es weder hoch noch runter, der Graph verläuft waagrecht.
Zwei Geraden haben die Steigungen 2 und 5. Was bedeutet das im Vergleich?
Erklärung: Größere Steigung heißt schnellere Zunahme pro Einheit — über die Höhe der Geraden sagt sie nichts.
Ein Zug fährt mit konstanten 120 km pro Stunde. In einer halben Stunde legt er ___ km zurück.
Erklärung: Konstante Rate heißt — halber Zeitschritt, halbe Wegänderung. 120 · 0,5 = 60.
Die Steigung einer Geraden ist an jeder Stelle des Graphen gleich groß.
Erklärung: Das ist das Kennzeichen der Geraden — eine konstante Änderungsrate. Bei gekrümmten Graphen ändert sich die Steigung.
Wie steil ein Graph verläuft, sagt seine ___ — nicht, wie hoch er im Koordinatensystem liegt.
Erklärung: Die Steigung ist die Änderung pro Schritt nach rechts. Ein Graph kann weit oben liegen und trotzdem flach verlaufen.
Ninas Sparkonto startet bei 500 € und wächst um 5 € pro Monat, Toms startet bei 0 € und wächst um 20 € pro Monat. Ninas Graph liegt im ersten Jahr weit über Toms. Wessen Graph hat die größere Steigung?
Erklärung: Die Steigung ist der Zuwachs pro Monat: 20 € gegen 5 €. Dass Ninas Graph höher liegt, kommt vom Startwert, nicht von der Steigung.