Zylinder und Prismen
Das Volumen eines geraden Zylinders mit Radius r und Höhe h lautet V = ___.
Erklärung: V = Grundfläche · Höhe = π · r² · h.
Die Mantelfläche eines geraden Zylinders mit Radius r und Höhe h lautet M = ___.
Erklärung: Die Mantelfläche ist ein Rechteck: Breite = Kreisumfang = 2πr, Höhe = h. Also M = 2πrh.
Berechne das Volumen eines Zylinders mit r = 3 cm und h = 10 cm. Runde auf zwei Nachkommastellen. (π ≈ 3,14)
Erklärung: V = π · r² · h = 3,14 · 9 · 10 = 282,6 cm³.
Berechne die Mantelfläche eines Zylinders mit r = 5 cm und h = 8 cm. Runde auf zwei Nachkommastellen. (π ≈ 3,14)
Erklärung: M = 2 · π · r · h = 2 · 3,14 · 5 · 8 = 251,2 cm².
Berechne die Oberfläche eines Zylinders mit r = 3 cm und h = 10 cm. Runde auf zwei Nachkommastellen. (π ≈ 3,14)
Erklärung: O = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 3 · (3 + 10) = 6,28 · 3 · 13 = 6,28 · 39 = 244,92 cm². Alternativ: 2 · Grundfläche + Mantelfläche = 2 · 3,14 · 9 + 2 · 3,14 · 3 · 10 = 56,52 + 188,4 = 244,92 cm².
Berechne das Volumen eines geraden Prismas mit einer rechteckigen Grundfläche 6 cm × 4 cm und Höhe 10 cm.
Erklärung: V = Grundfläche · Höhe = 6 · 4 · 10 = 240 cm³.
Aus welchen Teilen besteht das Netz eines Zylinders?
Erklärung: Das Netz eines Zylinders besteht aus zwei Kreisen (Grund- und Deckfläche) und einem Rechteck (Mantelfläche).
Das Volumen eines geraden Prismas hängt nur vom Grundflächeninhalt und der Höhe ab, nicht von der Form der Grundfläche.
Erklärung: Richtig. V = Grundfläche · Höhe gilt für jedes gerade Prisma, unabhängig davon, ob die Grundfläche ein Dreieck, Rechteck, Sechseck usw. ist.
Ein Prisma hat eine dreieckige Grundfläche mit Grundseite 6 cm und Höhe des Dreiecks 4 cm. Das Prisma ist 15 cm hoch. Berechne das Volumen.
Erklärung: Grundfläche: A = (6 · 4)/2 = 12 cm². Volumen: V = 12 · 15 = 180 cm³.
Eine zylindrische Dose hat den Durchmesser 8 cm und die Höhe 12 cm. Berechne das Volumen. (π ≈ 3,14)
Erklärung: r = 4 cm. V = π · 4² · 12 = 3,14 · 16 · 12 = 602,88 cm³.
Ein zylindrisches Glas fasst 628 cm³ und hat r = 5 cm. Wie hoch ist das Glas? Runde auf eine Nachkommastelle. (π ≈ 3,14)
Erklärung: V = πr²h → h = V/(πr²) = 628/(3,14 · 25) = 628/78,5 = 8,0 cm.
Verdoppelt man den Radius eines Zylinders bei gleicher Höhe, wie verändert sich das Volumen?
Erklärung: V = πr²h. Neuer Radius 2r: V' = π(2r)²h = 4πr²h. Das Volumen vervierfacht sich.
Berechne die Mantelfläche eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche (Seitenlängen 3 cm, 4 cm, 5 cm) und Höhe 10 cm.
Erklärung: Mantelfläche = Umfang der Grundfläche · Höhe = (3 + 4 + 5) · 10 = 12 · 10 = 120 cm².
Ein zylindrisches Rohr hat den Außenradius 5 cm, den Innenradius 3 cm und die Länge 20 cm. Berechne das Materialvolumen. (π ≈ 3,14)
Erklärung: V = π · (R² - r²) · h = 3,14 · (25 - 9) · 20 = 3,14 · 16 · 20 = 1004,8 cm³.
Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus zwei ___ und einer Mantelfläche.
Erklärung: Die Oberfläche = 2 Kreisflächen (oben und unten) + Mantelfläche (Seitenfläche).
Ein Wassertank ist ein Zylinder mit r = 1 m und h = 2 m. Wie viele Liter fasst er? (π ≈ 3,14; 1 m³ = 1000 l)
Erklärung: V = π · 1² · 2 = 6,28 m³. 6,28 · 1000 = 6280 Liter.
Ein Zylinder kann als Grenzfall eines geraden Prismas betrachtet werden, wenn die Seitenzahl der Grundfläche gegen unendlich geht.
Erklärung: Richtig. Ein regelmäßiges n-Eck nähert sich für n → ∞ einem Kreis. Ein Prisma mit kreisförmiger Grundfläche ist ein Zylinder.
Ein schiefes Prisma hat das gleiche Volumen wie ein gerades Prisma mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe (Satz von Cavalieri).
Erklärung: Richtig. Nach dem Satz von Cavalieri haben zwei Körper mit gleichen Querschnittsflächen in jeder Höhe das gleiche Volumen.
Die dritte Potenz von 4 ist 4³ = ___.
Erklärung: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64.
Berechne die Kubikwurzel: ∛27 = ___.
Erklärung: 3³ = 27, also ∛27 = 3.
Ein zylindrisches Regenfass hat einen Durchmesser von 60 cm und eine Höhe von 90 cm. Wie viel Liter fasst es? (π ≈ 3,14; 1 Liter = 1000 cm³). Runde auf ganze Liter.
Erklärung: r = 30 cm. V = π · 30² · 90 = 3,14 · 900 · 90 = 254340 cm³ = 254,3 l ≈ 254 l.
Ein dreieckiges Prisma hat eine Grundfläche mit den Katheten 6 cm und 8 cm und eine Höhe von 20 cm. Berechne das Volumen (in cm³).
Erklärung: Grundfläche = ½ · 6 · 8 = 24 cm². V = 24 · 20 = 480 cm³.
Was besagt der Satz von Cavalieri?
Erklärung: Der Satz von Cavalieri vergleicht Körper über ihre Schnittflächen: Gleiche Höhe + gleiche Schnittflächen in jeder Ebene = gleiches Volumen.