Ähnlichkeit und zentrische Streckung
Ein Dreieck mit den Seiten 2 cm, 3 cm und 4 cm ist ähnlich zu einem Dreieck mit den Seiten 4 cm, 6 cm und 8 cm.
Erklärung: Richtig. Alle drei Seiten sind mit demselben Faktor k = 2 gestreckt — genau das heißt ähnlich; die Winkel bleiben dabei gleich.
Was ist der Ähnlichkeitsfaktor k, wenn eine Strecke der Länge 4 cm auf eine Strecke der Länge 12 cm abgebildet wird?
Erklärung: k = Bildlänge / Originallänge = 12/4 = 3. Wer 1/3 wählt, hat Original und Bild vertauscht; 8 ist die Differenz statt des Quotienten.
Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum Z und Faktor k = 2 wird jeder Punkt P auf P' abgebildet, wobei ZP' = ___ · ZP.
Erklärung: Bei der zentrischen Streckung (Z; k) gilt ZP' = k · ZP. Für k = 2 also ZP' = 2 · ZP.
Der Punkt P(2; 3) wird zentrisch gestreckt mit Zentrum O(0; 0) und k = -1. Der Bildpunkt ist P'(-2; -3).
Erklärung: Richtig. Für k = -1 liegt P' in Gegenrichtung von OP mit gleichem Abstand — die Streckung wirkt wie eine Punktspiegelung an O.
Der Punkt P(4; 6) wird zentrisch gestreckt mit Zentrum O(0; 0) und k = 1. Wo liegt der Bildpunkt P'?
Erklärung: Für k = 1 gilt OP' = 1 · OP, also P' = P — die Streckung mit k = 1 ist die Identität. P'(8; 12) wäre k = 2 (eine Streckung muss nicht vergrößern), P'(-4; -6) wäre k = -1.
Ein Dreieck mit Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm wird zentrisch mit k = 2,5 gestreckt. Wie lang ist die längste Seite des Bilddreiecks (in cm)?
Erklärung: Die längste Seite: 5 · 2,5 = 12,5 cm.
Bei einer zentrischen Streckung mit k = 3 hat das Bilddreieck einen Umfang von 36 cm. Wie groß war der Umfang des Originaldreiecks (in cm)?
Erklärung: Umfang wird mit k multipliziert: U' = k · U. Also U = 36/3 = 12 cm.
Ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 6 cm² wird zentrisch gestreckt mit k = 3. Welchen Flächeninhalt hat das Bilddreieck?
Erklärung: Der Flächeninhalt ändert sich mit k²: A' = 3² · 6 = 54 cm². 18 cm² wäre nur mit k multipliziert (Längen ändern sich mit k, Flächen mit k²), 162 cm² wäre k³.
Ein Quadrat hat die Seitenlänge 5 cm. Nach einer zentrischen Streckung hat das Bildquadrat den Flächeninhalt 100 cm². Wie groß ist k?
Erklärung: A = 25 cm², A' = 100 cm². A' = k² · A, also k² = 100/25 = 4, k = 2.
Ein Kreis mit Radius 2 cm ist ähnlich zu einem Kreis mit Radius 7 cm.
Erklärung: Richtig. Die zentrische Streckung mit k = 7/2 = 3,5 führt den einen Kreis in den anderen über — je zwei Kreise sind ähnlich.
Ein Rechteck mit den Seiten 2 cm und 4 cm ist ähnlich zu einem Rechteck mit den Seiten 2 cm und 3 cm.
Erklärung: Falsch. Ähnlich heißt gleiches Seitenverhältnis — hier 1:2 gegen 2:3. Dass beide Rechtecke sind (und eine Seite übereinstimmt), genügt nicht.
Welche Figuren sind stets zueinander ähnlich?
Erklärung: Alle Quadrate haben gleiche Winkel (90°) und das Seitenverhältnis 1:1. Sie unterscheiden sich nur in der Größe.
Die Kongruenz von Figuren ist ein Sonderfall der Ähnlichkeit mit dem Ähnlichkeitsfaktor k = ___.
Erklärung: Bei k = 1 bleiben alle Längen gleich — die Figuren sind kongruent.
Der Eckpunkt A eines Dreiecks liegt 8 cm vom Zentrum Z entfernt. Das Dreieck wird zentrisch gestreckt mit (Z; 0,5). Wo liegt der Bildpunkt A'?
Erklärung: ZA' = 0,5 · 8 = 4 cm, und für k > 0 liegen A und A' auf derselben Seite von Z. Die Gegenseite gehört zu k < 0; 16 cm hieße, dass eine Streckung immer vergrößert — mit 0 < k < 1 verkleinert sie.
Zwei ähnliche Dreiecke haben die Seitenverhältnisse 3:4:5 bzw. 6:8:10. Wie groß ist der Ähnlichkeitsfaktor k?
Erklärung: k = 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2.
Die Nacheinanderausführung zweier zentrischer Streckungen mit k₁ = 2 und k₂ = 3 ergibt eine Ähnlichkeitsabbildung mit k = 6.
Erklärung: Richtig. Der Ähnlichkeitsfaktor der Nacheinanderausführung ist k = k₁ · k₂ = 2 · 3 = 6.
Ein Foto (9 cm × 13 cm) wird auf Postergröße vergrößert. Die kurze Seite des Posters ist 36 cm. Wie lang ist die lange Seite (in cm)?
Erklärung: k = 36/9 = 4. Lange Seite: 13 · 4 = 52 cm.
Ein Stadtplan hat den Maßstab 1:25000. Welche Strecke in der Wirklichkeit entspricht 4 cm auf der Karte?
Erklärung: 4 cm · 25000 = 100000 cm = 1000 m = 1 km. 250 m entspricht nur 1 cm auf der Karte; 10000 m ist ein Umrechnungsfehler von cm in m.
Zwei ähnliche Körper haben den Ähnlichkeitsfaktor k = 2. Das Volumen des kleineren Körpers beträgt 50 cm³. Wie groß ist das Volumen des größeren Körpers (in cm³)?
Erklärung: V' = k³ · V = 2³ · 50 = 8 · 50 = 400 cm³.
Dreieck ABC hat die Winkel α = 50° und β = 70°. Dreieck DEF hat die Winkel δ = 50° und ε = 70°. Was folgt daraus?
Erklärung: Stimmen zwei Winkel überein, so auch der dritte (Winkelsumme 180°). Nach dem Ähnlichkeitssatz (ww) sind die Dreiecke ähnlich.
Ein Modellhaus im Maßstab 1:50 hat eine Dachfläche von 80 cm². Wie groß ist die Dachfläche des echten Hauses in m²?
Erklärung: Fläche skaliert mit k². k = 50. A_echt = 80 · 50² = 80 · 2500 = 200000 cm² = 200000/10000 m² = 20 m².
Der Punkt P(1; 3) wird zentrisch gestreckt mit Zentrum O(0; 0) und k = -2. Der Bildpunkt ist P'(-2; -6).
Erklärung: Richtig. Für k < 0 liegt der Bildpunkt auf der anderen Seite von O, und |k| = 2 verdoppelt den Abstand — beide Koordinaten werden mit -2 multipliziert.
Auf einer Landkarte beträgt die Entfernung zwischen zwei Städten 7,2 cm. Die tatsächliche Entfernung ist 18 km. Wie groß ist der Maßstab als Verhältnis 1:n? Gib n an.
Erklärung: 18 km = 1800000 cm. n = 1800000/7,2 = 250000.