Ähnlichkeit und zentrische Streckung
Similarity and Centric Dilation
Das Kind streckt Figuren von einem Zentrum Z aus mit dem Faktor k (ZP' = k · ZP) und erkennt Ähnlichkeit als gleiche Winkel und gleiches Seitenverhältnis: Längen und Umfang wachsen mit k, Flächen mit k², Volumina mit k³; 0 < k < 1 verkleinert, k < 0 legt das Bild auf die Gegenseite von Z, k = 1 ist die Kongruenz. Die Items zielen auf die additive Strategie („überall 2 cm dazu", Hart 1984) und auf die „illusion of linearity", Flächen ebenfalls mit k zu strecken (De Bock et al. 2002). Bereitet die Strahlensätze vor, die aus der Streckung folgen, und das Rechnen mit Maßstäben an Karten, Modellen und Körpern.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Ein Dreieck mit den Seiten 2 cm, 3 cm und 4 cm ist ähnlich zu einem Dreieck mit den Seiten 4 cm, 6 cm und 8 cm.
Was ist der Ähnlichkeitsfaktor k, wenn eine Strecke der Länge 4 cm auf eine Strecke der Länge 12 cm abgebildet wird?
Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum Z und Faktor k = 2 wird jeder Punkt P auf P' abgebildet, wobei ZP' = ___ · ZP.
Der Punkt P(4; 6) wird zentrisch gestreckt mit Zentrum O(0; 0) und k = 1. Wo liegt der Bildpunkt P'?
Ein Dreieck mit Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm wird zentrisch mit k = 2,5 gestreckt. Wie lang ist die längste Seite des Bilddreiecks (in cm)?
Bei einer zentrischen Streckung mit k = 3 hat das Bilddreieck einen Umfang von 36 cm. Wie groß war der Umfang des Originaldreiecks (in cm)?
Ein Kreis mit Radius 2 cm ist ähnlich zu einem Kreis mit Radius 7 cm.
Welche Figuren sind stets zueinander ähnlich?
Die Kongruenz von Figuren ist ein Sonderfall der Ähnlichkeit mit dem Ähnlichkeitsfaktor k = ___.
Zwei ähnliche Dreiecke haben die Seitenverhältnisse 3:4:5 bzw. 6:8:10. Wie groß ist der Ähnlichkeitsfaktor k?
Der Punkt P(2; 3) wird zentrisch gestreckt mit Zentrum O(0; 0) und k = -1. Der Bildpunkt ist P'(-2; -3).
Ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 6 cm² wird zentrisch gestreckt mit k = 3. Welchen Flächeninhalt hat das Bilddreieck?
Ein Quadrat hat die Seitenlänge 5 cm. Nach einer zentrischen Streckung hat das Bildquadrat den Flächeninhalt 100 cm². Wie groß ist k?
Ein Rechteck mit den Seiten 2 cm und 4 cm ist ähnlich zu einem Rechteck mit den Seiten 2 cm und 3 cm.
Der Eckpunkt A eines Dreiecks liegt 8 cm vom Zentrum Z entfernt. Das Dreieck wird zentrisch gestreckt mit (Z; 0,5). Wo liegt der Bildpunkt A'?
Die Nacheinanderausführung zweier zentrischer Streckungen mit k₁ = 2 und k₂ = 3 ergibt eine Ähnlichkeitsabbildung mit k = 6.
Ein Foto (9 cm × 13 cm) wird auf Postergröße vergrößert. Die kurze Seite des Posters ist 36 cm. Wie lang ist die lange Seite (in cm)?
Ein Stadtplan hat den Maßstab 1:25000. Welche Strecke in der Wirklichkeit entspricht 4 cm auf der Karte?
Dreieck ABC hat die Winkel α = 50° und β = 70°. Dreieck DEF hat die Winkel δ = 50° und ε = 70°. Was folgt daraus?
Der Punkt P(1; 3) wird zentrisch gestreckt mit Zentrum O(0; 0) und k = -2. Der Bildpunkt ist P'(-2; -6).
Zwei ähnliche Körper haben den Ähnlichkeitsfaktor k = 2. Das Volumen des kleineren Körpers beträgt 50 cm³. Wie groß ist das Volumen des größeren Körpers (in cm³)?
Ein Modellhaus im Maßstab 1:50 hat eine Dachfläche von 80 cm². Wie groß ist die Dachfläche des echten Hauses in m²?
Auf einer Landkarte beträgt die Entfernung zwischen zwei Städten 7,2 cm. Die tatsächliche Entfernung ist 18 km. Wie groß ist der Maßstab als Verhältnis 1:n? Gib n an.