Anwendung des Kosinussatzes
Dreieck mit a = 5, b = 7, γ = 60°. Berechne c². (cos 60° = 0,5)
Erklärung: c² = a² + b² − 2ab · cos γ = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · 0,5 = 74 − 35 = 39.
Dreieck mit a = 6, b = 8, c = 10. Berechne cos γ mithilfe des Kosinussatzes.
Erklärung: c² = a² + b² − 2ab · cos γ → 100 = 36 + 64 − 96 · cos γ → 0 = −96 · cos γ → cos γ = 0. Also γ = 90°.
Für γ = 90° wird der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ zum Satz des Pythagoras c² = a² + b².
Erklärung: Richtig. cos 90° = 0, also fällt der Term −2ab · cos γ weg und es bleibt c² = a² + b².
Gegeben sind a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm; gesucht ist α. Womit rechnest du?
Erklärung: Drei Seiten und kein Winkel — nur der Kosinussatz verbindet drei Seiten mit einem Winkel. Der Sinussatz bräuchte ein Winkel-Seite-Paar, Pythagoras einen rechten Winkel.
Gegeben sind α = 50°, β = 70° und c = 8 cm; gesucht ist a. Womit rechnest du?
Erklärung: Über γ = 180° − 50° − 70° = 60° entsteht das Paar c und γ. Mit a/sin α = c/sin γ folgt a. Der Kosinussatz bräuchte zwei Seiten.
Gegeben sind a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°; gesucht ist β. Womit rechnest du?
Erklärung: a und α bilden ein vollständiges Paar, b ist die zweite Seite — a/sin α = b/sin β liefert β direkt. Der Kosinussatz wäre hier eine Gleichung mit der unbekannten Seite c.
Für ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 7 cm und γ = 60° gilt: c² = 25 + 49 + 35.
Erklärung: Der Korrekturterm wird abgezogen, nicht addiert. Richtig ist c² = 25 + 49 − 35 = 39.
In einem Dreieck mit a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm — welcher Winkel ist der größte?
Erklärung: Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber. Die längste Seite ist c = 30,4 cm, also ist γ der größte Winkel (≈ 89,9°).
Ein Dreieck hat die Seiten a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm. Berechne α (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) = (729 + 924,16 − 196) / (2 · 27 · 30,4) ≈ 0,888, also α ≈ 27,4°.
Ein Dreieck hat die Seiten a = 6 cm, b = 9 cm und c = 13 cm. Berechne γ (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (36 + 81 − 169) / 108 ≈ −0,481. Ein negativer Kosinus bedeutet einen stumpfen Winkel, γ ≈ 118,8°.
Ein Dreieck hat b = 9 cm, c = 12 cm und den eingeschlossenen Winkel α = 40°. Berechne a (in cm, auf 0,1 cm genau).
Erklärung: a² = 81 + 144 − 2 · 9 · 12 · cos 40° ≈ 225 − 165,5 = 59,5, also a = √59,5 ≈ 7,7 cm. Das Wurzelziehen am Schluss darf nicht vergessen werden.
Zwischen P und Q liegt ein Waldstück. Von einem Hilfspunkt R aus misst man RP = 64,0 m, RQ = 51,5 m und den Winkel bei R zu 52,0°. Wie lang ist die Strecke PQ (in m, auf 0,1 m genau)?
Erklärung: PQ² = 64,0² + 51,5² − 2 · 64,0 · 51,5 · cos 52° ≈ 4096 + 2652,25 − 4059,7 ≈ 2688,5, also PQ ≈ 51,9 m.
Ein Dreieck hat die Seiten a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm.
Berechne alle drei Innenwinkel auf 0,1° genau. Beginne mit dem
Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt, und prüfe am Schluss
die Winkelsumme.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Mit dem größten Winkel zu beginnen hat einen Grund — nur der Kosinussatz unterscheidet spitz von stumpf am Vorzeichen. Danach ist die Winkelsumme der schnellste Weg zum letzten Winkel.
Ergänze den Kosinussatz für die Seite a: a² = b² + ___ − 2bc · cos α
Erklärung: a² = b² + c² − 2bc · cos α. Die beiden Seiten, die den Winkel α einschließen, stehen quadriert vorn und noch einmal im Korrekturterm.
Drei Seiten sind gegeben, α ist gesucht. Welche Umformung des Kosinussatzes liefert cos α?
Erklärung: Die gesuchte Seite a steht mit Minus im Zähler, die beiden anderen bilden Zähleranfang und Nenner. (a² + b² − c²) / (2ab) liefert cos γ.
Ergänze: cos α = (b² + c² − ___) / (2bc)
Erklärung: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) — die Gegenseite von α wird abgezogen.
Für γ = 90° wird der Kosinussatz zu: c² = a² + ___
Erklärung: cos 90° = 0, der Korrekturterm fällt weg und es bleibt c² = a² + b².
Gegeben sind drei Seiten (sss), gesucht ist ein Winkel. Du rechnest mit dem: ___
Erklärung: Kosinussatz — der Sinussatz bräuchte einen Winkel samt seiner Gegenseite, und davon ist hier keiner gegeben.
Gegeben sind a = 5 cm, b = 8 cm und γ = 55°. Entscheide selbst, welcher Satz passt, und berechne c (in cm, auf 0,1 cm genau).
Erklärung: Zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel (sws) — also Kosinussatz. c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos 55° ≈ 89 − 45,9 = 43,1, also c ≈ 6,6 cm.
Zu welchem Wert gehören zwei verschiedene Winkel zwischen 0° und 180°?
Erklärung: sin β = 0,6 gilt für β ≈ 36,9° und für 180° − 36,9° ≈ 143,1°. Zu jedem Kosinuswert gehört zwischen 0° und 180° genau ein Winkel: cos β = 0,6 gibt nur β ≈ 53,1°, cos β = −0,6 nur β ≈ 126,9°.
Dreieck mit a = 8 cm, b = 5 cm, c = 6 cm. Welchen Winkel berechnest du zuerst mit dem Kosinussatz?
Erklärung: Zuerst den größten Winkel — er liegt der längsten Seite a = 8 cm gegenüber und ist als einziger vielleicht stumpf. Der Kosinussatz bestimmt ihn eindeutig (hier α ≈ 92,9°); die beiden anderen sind danach sicher spitz.
cos⁻¹ liefert immer einen Winkel zwischen 0° und ___°.
Erklärung: Zwischen 0° und 180° gehört zu jedem Kosinuswert genau ein Winkel — deshalb ist ein Winkel aus dem Kosinussatz nie zweideutig. Ein negativer Kosinus heißt stumpf.
Ein Dreieck hat die Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und c = 9 cm. Berechne zuerst seinen größten Winkel (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: Der größte Winkel liegt der längsten Seite c = 9 cm gegenüber: cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (16 + 36 − 81) / 48 ≈ −0,604. Der Kosinus ist negativ, γ ist stumpf: γ ≈ 127,2°.
Berechne 36 + 64 − 96 · 0,5.
Punkt vor Strich: erst 96 · 0,5 = 48.
96 · 0,5 = 48; 36 + 64 − 48 = 52. Punkt vor Strich.
Gegeben: b = 6 cm, c = 9 cm und der Winkel α = 50° dazwischen; gesucht ist a. Womit rechnest du?
Zwei Seiten und der Winkel dazwischen (sws): der Kosinussatz. Der Satz des Pythagoras gilt nur bei 90°.
Gegeben: a = 5 cm, b = 8 cm und c = 11 cm; gesucht ist γ. Womit rechnest du?
Drei Seiten (sss): der Kosinussatz. Für den Sinussatz fehlt ein Winkel.
Ein Dreieck hat b = 7 cm, c = 10 cm und den Winkel α = 55° dazwischen. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Im Kosinussatz steht ein Minus: − 2 · b · c · cos α.
Kosinussatz: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α = 49 + 100 − 140 · cos 55° ≈ 68,7, also a ≈ 8,3 cm.
Ein Dreieck hat b = 6 cm, c = 9 cm und den Winkel α = 48° dazwischen. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Im Kosinussatz steht ein Minus: − 2 · b · c · cos α.
Kosinussatz: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α = 36 + 81 − 108 · cos 48° ≈ 44,73, also a ≈ 6,7 cm.
Ein Dreieck hat a = 7 cm, b = 8 cm und c = 9 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (49 + 64 − 81) / 112 ≈ 0,286, also γ ≈ 73,4°.
Ein Dreieck hat a = 6 cm, b = 7 cm und c = 8 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (36 + 49 − 64) / 84 ≈ 0,25, also γ ≈ 75,5°.
Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 6 cm und γ = 70°. Ist das richtig eingesetzt?
c² = 25 + 36 − 60 · cos 70°
Ja: a² = 25, b² = 36 und 2ab = 2 · 5 · 6 = 60. Im Kosinussatz steht ein Minus.
Ein Dreieck hat a = 4 cm, b = 7 cm und γ = 80°. Ist das richtig eingesetzt?
c² = 16 + 49 − 56 · cos 80°
Ja: a² = 16, b² = 49 und 2ab = 2 · 4 · 7 = 56. Im Kosinussatz steht ein Minus.
Gegeben: α = 35°, β = 80° und a = 6 cm; gesucht ist b. Womit rechnest du?
Zwei Winkel und eine Seite: der Sinussatz, a / sin α = b / sin β.
Gegeben: a = 9 cm, b = 5 cm und α = 70°; gesucht ist β. Womit rechnest du?
Zwei Seiten und ein Winkel gegenüber einer von ihnen (ssw): der Sinussatz.
Ein Dreieck hat a = 6 cm, b = 9 cm und c = 13 cm. Lea erhält γ ≈ 61,2°. Kann das stimmen?
Nein: 36 + 81 = 117 ist kleiner als c² = 169. Dann ist cos γ negativ und γ größer als 90° (γ ≈ 118,8°).
Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 7 cm und c = 11 cm. Tim erhält γ ≈ 47,8°. Kann das stimmen?
Nein: 25 + 49 = 74 ist kleiner als c² = 121. Dann ist cos γ negativ und γ größer als 90° (γ ≈ 132,2°).
Ein Dreieck hat a = 4 cm, b = 6 cm und den Winkel γ = 120° dazwischen. Berechne c (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Im Kosinussatz steht ein Minus: − 2 · a · b · cos γ.
Kosinussatz: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ = 16 + 36 − 48 · cos 120° ≈ 76, also c ≈ 8,7 cm.
Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 3 cm und den Winkel γ = 115° dazwischen. Berechne c (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Im Kosinussatz steht ein Minus: − 2 · a · b · cos γ.
Kosinussatz: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ = 25 + 9 − 30 · cos 115° ≈ 46,68, also c ≈ 6,8 cm.
Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 7 cm und c = 10 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (25 + 49 − 100) / 70 ≈ −0,371, also γ ≈ 111,8°.
Ein Dreieck hat a = 4 cm, b = 6 cm und c = 8 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (16 + 36 − 64) / 48 ≈ −0,25, also γ ≈ 104,5°.
Ein See liegt zwischen den Bojen P und Q. Vom Steg R aus sind es 80 m bis P und 60 m bis Q; der Winkel bei R ist 75°. Wie weit liegen P und Q auseinander (in m)? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Im Kosinussatz steht ein Minus: − 2 · RP · RQ · cos R.
Kosinussatz: PQ² = RP² + RQ² − 2 · RP · RQ · cos R = 6400 + 3600 − 9600 · cos 75° ≈ 7515,34, also PQ ≈ 86,7 m.
Zwei Wanderer gehen vom Gipfel G aus: einer 90 m zur Hütte H, der andere 70 m zum Kreuz K; der Winkel bei G ist 65°. Wie weit sind H und K voneinander entfernt (in m)? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Im Kosinussatz steht ein Minus: − 2 · GH · GK · cos G.
Kosinussatz: HK² = GH² + GK² − 2 · GH · GK · cos G = 8100 + 4900 − 12600 · cos 65° ≈ 7675,01, also HK ≈ 87,6 m.