Anwendung des Kosinussatzes

Applying the Law of Cosines

Mathematik Klasse 9 42 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieKosinussatz

Der Kosinussatz ist der Satz für sss und sws — drei Seiten, oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel. In seinen drei symmetrischen Formen steht er für jede Ecke bereit; die Arbeit ist, Seite und Gegenwinkel richtig zu paaren. Für γ = 90° ist cos γ = 0 und der Satz wird zum Satz des Pythagoras — der Spezialfall, den der LehrplanPLUS M9 7.2 ausdrücklich erkannt sehen will. Räumt die Fehlvorstellung aus, es gebe für jedes Dreieck genau einen anwendbaren Satz; die Auswahl richtet sich nach der Angabe, nicht nach der Figur.

Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt (SWS, „Seite-Winkel-Seite"), liefert der Kosinussatz direkt die dritte Seite.

Beispiel: Gegeben $a = 6$ , $b = 4$ , $γ = 60°$ . Gesucht: c.

Mit der Form, die $γ$ enthält:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot cos γ = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot cos 60°$

Mit $cos 60° = 0, 5$ :

$c^{2} = 52 - 48 \cdot 0, 5 = 52 - 24 = 28$ $c = 28 \approx 5, 29$

Gegeben sind

a

b

und der eingeschlossene Winkel

γ

. Rechne

c

selbst aus: Zeigt die Figur denselben Wert?

Ein Winkel aus drei Seiten — eindeutig

Nach dem Winkel umgestellt lautet der Kosinussatz

$cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$

und $cos^{- 1}$ liefert den Winkel. Mit $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 10$ : $cos γ = (25 + 49 - 100) /70 \approx - 0, 371$ , also $γ \approx 111, 8°$ . Dieser Winkel ist eindeutig: $cos^{- 1}$ gibt Winkel zwischen $0°$ und $180°$ aus, und dort gehört zu jedem Kosinuswert genau ein Winkel — ein negativer Kosinus heißt stumpf. Beim Sinus ist das anders: $sin 30° = sin 150°$ , und $sin^{- 1}$ zeigt nur den spitzen der beiden. Deshalb gilt, wenn alle drei Seiten gegeben sind: den größten Winkel zuerst mit dem Kosinussatz. Er liegt der längsten Seite gegenüber und ist als einziger vielleicht stumpf; die beiden übrigen sind dann sicher spitz.

Voraussetzungen (1)

Drei symmetrische Formen und Pythagoras-Spezialfall

Klasse 9

›

Ermöglicht (2)

Herleitung des Sinussatzes

Klasse 9

›

Kosinussatz anwenden — SSS, Winkel aus drei Seiten

Klasse 9

›

Leicht

Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Für γ = 90° wird der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ zum Satz des Pythagoras c² = a² + b².

✓ Wahr

Richtig. cos 90° = 0, also fällt der Term −2ab · cos γ weg und es bleibt c² = a² + b².

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Gegeben sind a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm; gesucht ist α. Womit rechnest du?

● Kosinussatz
○ Sinussatz
○ Satz des Pythagoras

Drei Seiten und kein Winkel — nur der Kosinussatz verbindet drei Seiten mit einem Winkel. Der Sinussatz bräuchte ein Winkel-Seite-Paar, Pythagoras einen rechten Winkel.

Multiple Choice #3 35s ▶ Testen

Gegeben sind α = 50°, β = 70° und c = 8 cm; gesucht ist a. Womit rechnest du?

● Sinussatz
○ Kosinussatz
○ Satz des Pythagoras

Über γ = 180° − 50° − 70° = 60° entsteht das Paar c und γ. Mit a/sin α = c/sin γ folgt a. Der Kosinussatz bräuchte zwei Seiten.

Multiple Choice #4 35s ▶ Testen

Gegeben sind a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°; gesucht ist β. Womit rechnest du?

● Sinussatz
○ Kosinussatz
○ Satz des Pythagoras

a und α bilden ein vollständiges Paar, b ist die zweite Seite — a/sin α = b/sin β liefert β direkt. Der Kosinussatz wäre hier eine Gleichung mit der unbekannten Seite c.

Wahr / Falsch #5 25s ▶ Testen

Für ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 7 cm und γ = 60° gilt: c² = 25 + 49 + 35.

✓ Falsch

Der Korrekturterm wird abgezogen, nicht addiert. Richtig ist c² = 25 + 49 − 35 = 39.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

In einem Dreieck mit a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm — welcher Winkel ist der größte?

● γ
○ β
○ α

Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber. Die längste Seite ist c = 30,4 cm, also ist γ der größte Winkel (≈ 89,9°).

Multiple Choice #7 35s ▶ Testen

Drei Seiten sind gegeben, α ist gesucht. Welche Umformung des Kosinussatzes liefert cos α?

● (b² + c² − a²) / (2bc)
○ (a² + b² − c²) / (2ab)
○ (b² + c² + a²) / (2bc)

Die gesuchte Seite a steht mit Minus im Zähler, die beiden anderen bilden Zähleranfang und Nenner. (a² + b² − c²) / (2ab) liefert cos γ.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Zu welchem Wert gehören zwei verschiedene Winkel zwischen 0° und 180°?

● sin β = 0,6
○ cos β = 0,6
○ cos β = −0,6

sin β = 0,6 gilt für β ≈ 36,9° und für 180° − 36,9° ≈ 143,1°. Zu jedem Kosinuswert gehört zwischen 0° und 180° genau ein Winkel: cos β = 0,6 gibt nur β ≈ 53,1°, cos β = −0,6 nur β ≈ 126,9°.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Dreieck mit a = 8 cm, b = 5 cm, c = 6 cm. Welchen Winkel berechnest du zuerst mit dem Kosinussatz?

● α
○ β
○ γ

Zuerst den größten Winkel — er liegt der längsten Seite a = 8 cm gegenüber und ist als einziger vielleicht stumpf. Der Kosinussatz bestimmt ihn eindeutig (hier α ≈ 92,9°); die beiden anderen sind danach sicher spitz.

Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Gegeben: b = 6 cm, c = 9 cm und der Winkel α = 50° dazwischen; gesucht ist a. Womit rechnest du?

○ Sinussatz
● Kosinussatz
○ Satz des Pythagoras

Multiple Choice #11 25s ▶ Testen

Gegeben: a = 5 cm, b = 8 cm und c = 11 cm; gesucht ist γ. Womit rechnest du?

○ Sinussatz
● Kosinussatz
○ Satz des Pythagoras

Wahr / Falsch #12 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 6 cm und γ = 70°. Ist das richtig eingesetzt? c² = 25 + 36 − 60 · cos 70°

✓ Ja

Wahr / Falsch #13 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 4 cm, b = 7 cm und γ = 80°. Ist das richtig eingesetzt? c² = 16 + 49 − 56 · cos 80°

✓ Ja

Multiple Choice #14 25s ▶ Testen

Gegeben: α = 35°, β = 80° und a = 6 cm; gesucht ist b. Womit rechnest du?

● Sinussatz
○ Kosinussatz
○ Satz des Pythagoras

Multiple Choice #15 25s ▶ Testen

Gegeben: a = 9 cm, b = 5 cm und α = 70°; gesucht ist β. Womit rechnest du?

● Sinussatz
○ Kosinussatz
○ Satz des Pythagoras

Wahr / Falsch #16 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 6 cm, b = 9 cm und c = 13 cm. Lea erhält γ ≈ 61,2°. Kann das stimmen?

✓ Nein

Wahr / Falsch #17 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 7 cm und c = 11 cm. Tim erhält γ ≈ 47,8°. Kann das stimmen?

✓ Nein

Mittel

Lückentext #1 25s ▶ Testen

Ergänze den Kosinussatz für die Seite a: a² = b² + ___ − 2bc · cos α

✓ Antwort: c²

a² = b² + c² − 2bc · cos α. Die beiden Seiten, die den Winkel α einschließen, stehen quadriert vorn und noch einmal im Korrekturterm.

Lückentext #2 25s ▶ Testen

Ergänze: cos α = (b² + c² − ___) / (2bc)

✓ Antwort: a²

cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) — die Gegenseite von α wird abgezogen.

Lückentext #3 25s ▶ Testen

Für γ = 90° wird der Kosinussatz zu: c² = a² + ___

✓ Antwort: b²

cos 90° = 0, der Korrekturterm fällt weg und es bleibt c² = a² + b².

Lückentext #4 25s ▶ Testen

Gegeben sind drei Seiten (sss), gesucht ist ein Winkel. Du rechnest mit dem: ___

✓ Antwort: Kosinussatz

Kosinussatz — der Sinussatz bräuchte einen Winkel samt seiner Gegenseite, und davon ist hier keiner gegeben.

Lückentext #5 15s ▶ Testen

cos⁻¹ liefert immer einen Winkel zwischen 0° und ___°.

✓ Antwort: 180

Zwischen 0° und 180° gehört zu jedem Kosinuswert genau ein Winkel — deshalb ist ein Winkel aus dem Kosinussatz nie zweideutig. Ein negativer Kosinus heißt stumpf.

Zahleneingabe #6 20s ▶ Testen

Berechne 36 + 64 − 96 · 0,5.

✓ Antwort: 52

Zahleneingabe #7 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat b = 7 cm, c = 10 cm und den Winkel α = 55° dazwischen. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 8.3

Zahleneingabe #8 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat b = 6 cm, c = 9 cm und den Winkel α = 48° dazwischen. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 6.7

Zahleneingabe #9 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 7 cm, b = 8 cm und c = 9 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 73.4

Zahleneingabe #10 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 6 cm, b = 7 cm und c = 8 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 75.5

Zahleneingabe #11 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 4 cm, b = 6 cm und den Winkel γ = 120° dazwischen. Berechne c (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 8.7

Zahleneingabe #12 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 3 cm und den Winkel γ = 115° dazwischen. Berechne c (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 6.8

Zahleneingabe #13 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 7 cm und c = 10 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 111.8

Zahleneingabe #14 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 4 cm, b = 6 cm und c = 8 cm. Berechne γ (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 104.5

Zahleneingabe #15 75s ▶ Testen

Ein See liegt zwischen den Bojen P und Q. Vom Steg R aus sind es 80 m bis P und 60 m bis Q; der Winkel bei R ist 75°. Wie weit liegen P und Q auseinander (in m)? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 86.7

Zahleneingabe #16 75s ▶ Testen

Zwei Wanderer gehen vom Gipfel G aus: einer 90 m zur Hütte H, der andere 70 m zum Kreuz K; der Winkel bei G ist 65°. Wie weit sind H und K voneinander entfernt (in m)? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 87.6

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Dreieck mit a = 5, b = 7, γ = 60°. Berechne c². (cos 60° = 0,5)

✓ Antwort: 39

c² = a² + b² − 2ab · cos γ = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · 0,5 = 74 − 35 = 39.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Dreieck mit a = 6, b = 8, c = 10. Berechne cos γ mithilfe des Kosinussatzes.

✓ Antwort: 0

c² = a² + b² − 2ab · cos γ → 100 = 36 + 64 − 96 · cos γ → 0 = −96 · cos γ → cos γ = 0. Also γ = 90°.

Zahleneingabe #3 70s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm. Berechne α (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 27.4

cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) = (729 + 924,16 − 196) / (2 · 27 · 30,4) ≈ 0,888, also α ≈ 27,4°.

Zahleneingabe #4 70s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten a = 6 cm, b = 9 cm und c = 13 cm. Berechne γ (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 118.8

cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (36 + 81 − 169) / 108 ≈ −0,481. Ein negativer Kosinus bedeutet einen stumpfen Winkel, γ ≈ 118,8°.

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Ein Dreieck hat b = 9 cm, c = 12 cm und den eingeschlossenen Winkel α = 40°. Berechne a (in cm, auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 7.7

a² = 81 + 144 − 2 · 9 · 12 · cos 40° ≈ 225 − 165,5 = 59,5, also a = √59,5 ≈ 7,7 cm. Das Wurzelziehen am Schluss darf nicht vergessen werden.

Zahleneingabe #6 80s ▶ Testen

Zwischen P und Q liegt ein Waldstück. Von einem Hilfspunkt R aus misst man RP = 64,0 m, RQ = 51,5 m und den Winkel bei R zu 52,0°. Wie lang ist die Strecke PQ (in m, auf 0,1 m genau)?

✓ Antwort: 51.9

PQ² = 64,0² + 51,5² − 2 · 64,0 · 51,5 · cos 52° ≈ 4096 + 2652,25 − 4059,7 ≈ 2688,5, also PQ ≈ 51,9 m.

KI-bewertete Rechnung #7 300s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten a = 14 cm, b = 27 cm und c = 30,4 cm. Berechne alle drei Innenwinkel auf 0,1° genau. Beginne mit dem Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt, und prüfe am Schluss die Winkelsumme. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab) = (196 + 729 − 924,16)/756 ≈ 0,00111, also γ ≈ 89,9°. cos α = (b² + c² − a²)/(2bc) ≈ 0,888, also α ≈ 27,4°. Aus der Winkelsumme β = 180° − 89,9° − 27,4° ≈ 62,6°. Probe: 27,4° + 62,6° + 89,9° ≈ 180°.

Mit dem größten Winkel zu beginnen hat einen Grund — nur der Kosinussatz unterscheidet spitz von stumpf am Vorzeichen. Danach ist die Winkelsumme der schnellste Weg zum letzten Winkel.

Zahleneingabe #8 60s ▶ Testen

Gegeben sind a = 5 cm, b = 8 cm und γ = 55°. Entscheide selbst, welcher Satz passt, und berechne c (in cm, auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 6.6

Zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel (sws) — also Kosinussatz. c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos 55° ≈ 89 − 45,9 = 43,1, also c ≈ 6,6 cm.

Zahleneingabe #9 60s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und c = 9 cm. Berechne zuerst seinen größten Winkel (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 127.2

Der größte Winkel liegt der längsten Seite c = 9 cm gegenüber: cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (16 + 36 − 81) / 48 ≈ −0,604. Der Kosinus ist negativ, γ ist stumpf: γ ≈ 127,2°.