Herleitung des Kosinussatzes
Welcher Term im Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ entspricht der 'Korrektur' gegenüber dem Satz des Pythagoras?
Erklärung: Der Term −2ab · cos γ ist der Korrekturterm. Für γ = 90° ist cos 90° = 0, und der Kosinussatz wird zum Satz des Pythagoras.
Die Höhe hc lässt sich im rechtwinkligen Teildreieck als hc = a · sin β ausdrücken.
Erklärung: Richtig. Im rechtwinkligen Teildreieck mit Hypotenuse a und dem Winkel β gilt: sin β = hc / a, also hc = a · sin β.
Die Höhe h_c zerlegt das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Teildreiecke. In welchem der beiden liegt der Winkel β?
Erklärung: β liegt bei B, und von B geht die Seite a aus. Im Teildreieck mit der Hypotenuse a gilt deshalb h_c = a · sin β und q = a · cos β.
Die Höhe h_c teilt die Seite c in den Abschnitt q bei B und den Rest c − q bei A. Im Teildreieck mit der Hypotenuse b sind die Katheten h_c und c − q. Welche Gleichung liefert dort der Satz des Pythagoras?
Erklärung: Die Kathete dieses Teildreiecks ist der Abschnitt c − q, nicht die ganze Seite c und nicht q. Aus dieser Gleichung wird gleich der Kosinussatz.
Für welchen Winkel β verschwindet der Term −2ac · cos β im Kosinussatz b² = a² + c² − 2ac · cos β?
Erklärung: cos 90° = 0, also fällt der Korrekturterm weg und übrig bleibt b² = a² + c² — der Satz des Pythagoras mit b als Hypotenuse. Bei 0° wäre cos β = 1, bei 180° wäre cos β = −1.
In einem Dreieck mit γ = 60° ist c² kleiner als a² + b².
Erklärung: cos 60° = 0,5 ist positiv, also wird 2ab · 0,5 abgezogen. c² ist kleiner als a² + b².
In einem Dreieck mit γ = 120° ist c² kleiner als a² + b².
Erklärung: cos 120° = −0,5 ist negativ, und ein negativer Term wird abgezogen — also kommt etwas dazu. c² ist größer als a² + b².
Welche Form des Kosinussatzes berechnet die Seite a?
Erklärung: Im Korrekturterm stehen immer die beiden anderen Seiten und der Winkel, der der gesuchten Seite gegenüberliegt — zu a gehört α. Das Pluszeichen ist der häufigste Vorzeichenfehler.
Ergänze den fehlenden Winkel: b² = a² + c² − 2ac · cos ___
Erklärung: Der Winkel im Korrekturterm liegt der gesuchten Seite gegenüber — zu b gehört β.
Berechne den Wert von 2bc · cos α für b = 7 cm, c = 9 cm und α = 60°.
Erklärung: 2 · 7 · 9 · cos 60° = 126 · 0,5 = 63. Dieser Wert wird von b² + c² abgezogen.
Berechne den Wert von 2ab · cos γ für a = 4 cm, b = 6 cm und γ = 120°.
Erklärung: 2 · 4 · 6 · cos 120° = 48 · (−0,5) = −24. Der Term ist negativ, also vergrößert das Abziehen die Seite c.
Im Teildreieck gilt h_c = a · sin β. Berechne h_c für a = 9 cm und β = 40° (auf 0,1 cm genau).
Erklärung: h_c = 9 cm · sin 40° ≈ 9 cm · 0,643 ≈ 5,8 cm.
Im Teildreieck gilt q = a · cos β. Berechne q für a = 12 cm und β = 35° (auf 0,1 cm genau).
Erklärung: q = 12 cm · cos 35° ≈ 12 cm · 0,819 ≈ 9,8 cm. q ist der Abschnitt der Seite b vom Höhenfußpunkt aus.
Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC und die Höhe h_c von C auf
die Seite c. Der Fußpunkt teilt c in den Abschnitt q bei B und den
Rest c − q bei A. Drücke h_c und q im Teildreieck bei B durch a und
β aus, schreibe im Teildreieck bei A den Satz des Pythagoras auf und
leite daraus b² = a² + c² − 2ac · cos β her.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Herleitung braucht nur den Satz des Pythagoras im Teildreieck plus den trigonometrischen Pythagoras. Der Korrekturterm entsteht aus dem gemischten Glied −2cq beim Ausmultiplizieren von (c − q)². Mit den beiden anderen Höhen erhält man genauso die Formen für a² und c².
Der Höhenfußpunkt teilt die Seite c; das Stück q liegt bei B unter der Seite a. Welcher Ausdruck gibt q an?
Erklärung: Im rechtwinkligen Teildreieck bei B ist a die Hypotenuse und q die Ankathete von β, also q = a · cos β. a · sin β wäre die Höhe.
Ergänze das Projektionsstück unter der Seite a: q = a · ___ β
Erklärung: q = a · cos β. Das Stück liegt an β an, ist also die Ankathete — und die gehört zum Kosinus.
Bei welchem Winkel γ (in Grad) verschwindet der Term − 2ab · cos γ?
Erklärung: Bei γ = 90°, denn cos 90° = 0. Genau dann bleibt c² = a² + b² übrig.