Herleitung des Kosinussatzes

Deriving the Law of Cosines

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieKosinussatz

Der Kosinussatz entsteht aus einer einzigen Idee: die Höhe zerlegt das beliebige Dreieck in zwei rechtwinklige, auf die der Satz des Pythagoras wieder passt. Setzt man die beiden Teilstücke der Grundseite mit cos α an und rechnet zusammen, bleibt a² = b² + c² − 2bc·cos α übrig. Der Minusterm ist genau der Korrekturterm, der aus Pythagoras der allgemeine Fall macht. Räumt die verbreitete Vorzeichenverwechslung (Plus statt Minus) aus, weil sie hier als das sichtbar wird, was sie ist: ein verlorener Term.

Wir nehmen die Bausteine aus den letzten Schritten und kombinieren sie über den Satz des Pythagoras im linken Teildreieck $A F C$ :

$b^{2} = p^{2} + h_{c}^{2}$

Wir kennen schon $p = c - q$ und aus dem rechten Teildreieck (Pythagoras) $h_{c}^{2} = a^{2} - q^{2}$ . Einsetzen und ausmultiplizieren — mit der zweiten binomischen Formel $(c - q)^{2} = c^{2} - 2 c q + q^{2}$ ; danach heben sich $+ q^{2}$ und $- q^{2}$ auf:

$b^{2} = (c - q)^{2} + a^{2} - q^{2} = c^{2} - 2 c q + q^{2} + a^{2} - q^{2} = c^{2} - 2 c q + a^{2}$

Jetzt noch $q = a \cdot cos β$ einsetzen:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos β$

Das ist der Kosinussatz — eine Pythagoras-artige Beziehung mit einem Korrekturterm. Für unser Dreieck:

$b^{2} \approx 8, 1^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 8, 1 \cdot 7 \cdot cos 56°$ $b^{2} \approx 65, 61 + 49 - 113, 4 \cdot 0, 559 \approx 51, 2$ $b \approx 51, 2 \approx 7, 2 ✓$

Im hervorgehobenen linken Teildreieck gilt

b^{2} = p^{2} + h_{c}^{2}

. Setze

a

c

und

β

aus der Anzeige in den Kosinussatz ein: Kommt

b

heraus?

Voraussetzungen (1)

Projektion auf die Grundseite

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Drei symmetrische Formen und Pythagoras-Spezialfall

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Term im Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ entspricht der 'Korrektur' gegenüber dem Satz des Pythagoras?

○ a² + b²
● −2ab · cos γ
○ c²
○ a · b

Der Term −2ab · cos γ ist der Korrekturterm. Für γ = 90° ist cos 90° = 0, und der Kosinussatz wird zum Satz des Pythagoras.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Höhe hc lässt sich im rechtwinkligen Teildreieck als hc = a · sin β ausdrücken.

✓ Wahr

Richtig. Im rechtwinkligen Teildreieck mit Hypotenuse a und dem Winkel β gilt: sin β = hc / a, also hc = a · sin β.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Die Höhe h_c zerlegt das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Teildreiecke. In welchem der beiden liegt der Winkel β?

● im Teildreieck mit der Hypotenuse a
○ im Teildreieck mit der Hypotenuse b
○ im Teildreieck mit der Hypotenuse c

β liegt bei B, und von B geht die Seite a aus. Im Teildreieck mit der Hypotenuse a gilt deshalb h_c = a · sin β und q = a · cos β.

Multiple Choice #4 35s ▶ Testen

Die Höhe h_c teilt die Seite c in den Abschnitt q bei B und den Rest c − q bei A. Im Teildreieck mit der Hypotenuse b sind die Katheten h_c und c − q. Welche Gleichung liefert dort der Satz des Pythagoras?

● b² = (c − q)² + h_c²
○ b² = c² + h_c²
○ b² = q² + h_c²

Die Kathete dieses Teildreiecks ist der Abschnitt c − q, nicht die ganze Seite c und nicht q. Aus dieser Gleichung wird gleich der Kosinussatz.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Für welchen Winkel β verschwindet der Term −2ac · cos β im Kosinussatz b² = a² + c² − 2ac · cos β?

● 90°
○ 0°
○ 180°

cos 90° = 0, also fällt der Korrekturterm weg und übrig bleibt b² = a² + c² — der Satz des Pythagoras mit b als Hypotenuse. Bei 0° wäre cos β = 1, bei 180° wäre cos β = −1.

Wahr / Falsch #6 25s ▶ Testen

In einem Dreieck mit γ = 60° ist c² kleiner als a² + b².

✓ Wahr

cos 60° = 0,5 ist positiv, also wird 2ab · 0,5 abgezogen. c² ist kleiner als a² + b².

Wahr / Falsch #7 30s ▶ Testen

In einem Dreieck mit γ = 120° ist c² kleiner als a² + b².

✓ Falsch

cos 120° = −0,5 ist negativ, und ein negativer Term wird abgezogen — also kommt etwas dazu. c² ist größer als a² + b².

Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Welche Form des Kosinussatzes berechnet die Seite a?

● a² = b² + c² − 2bc · cos α
○ a² = b² + c² − 2bc · cos γ
○ a² = b² + c² + 2bc · cos α

Im Korrekturterm stehen immer die beiden anderen Seiten und der Winkel, der der gesuchten Seite gegenüberliegt — zu a gehört α. Das Pluszeichen ist der häufigste Vorzeichenfehler.

Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Der Höhenfußpunkt teilt die Seite c; das Stück q liegt bei B unter der Seite a. Welcher Ausdruck gibt q an?

● a · cos β
○ a · sin β
○ c · cos β

Im rechtwinkligen Teildreieck bei B ist a die Hypotenuse und q die Ankathete von β, also q = a · cos β. a · sin β wäre die Höhe.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze den fehlenden Winkel: b² = a² + c² − 2ac · cos ___

✓ Antwort: β

Der Winkel im Korrekturterm liegt der gesuchten Seite gegenüber — zu b gehört β.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze das Projektionsstück unter der Seite a: q = a · ___ β

✓ Antwort: cos

q = a · cos β. Das Stück liegt an β an, ist also die Ankathete — und die gehört zum Kosinus.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Bei welchem Winkel γ (in Grad) verschwindet der Term − 2ab · cos γ?

✓ Antwort: 90

Bei γ = 90°, denn cos 90° = 0. Genau dann bleibt c² = a² + b² übrig.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne den Wert von 2bc · cos α für b = 7 cm, c = 9 cm und α = 60°.

✓ Antwort: 63

2 · 7 · 9 · cos 60° = 126 · 0,5 = 63. Dieser Wert wird von b² + c² abgezogen.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Berechne den Wert von 2ab · cos γ für a = 4 cm, b = 6 cm und γ = 120°.

✓ Antwort: -24

2 · 4 · 6 · cos 120° = 48 · (−0,5) = −24. Der Term ist negativ, also vergrößert das Abziehen die Seite c.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Im Teildreieck gilt h_c = a · sin β. Berechne h_c für a = 9 cm und β = 40° (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 5.8

h_c = 9 cm · sin 40° ≈ 9 cm · 0,643 ≈ 5,8 cm.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Im Teildreieck gilt q = a · cos β. Berechne q für a = 12 cm und β = 35° (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 9.8

q = 12 cm · cos 35° ≈ 12 cm · 0,819 ≈ 9,8 cm. q ist der Abschnitt der Seite b vom Höhenfußpunkt aus.

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC und die Höhe h_c von C auf die Seite c. Der Fußpunkt teilt c in den Abschnitt q bei B und den Rest c − q bei A. Drücke h_c und q im Teildreieck bei B durch a und β aus, schreibe im Teildreieck bei A den Satz des Pythagoras auf und leite daraus b² = a² + c² − 2ac · cos β her. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Teildreieck bei B: h_c = a · sin β und q = a · cos β. Teildreieck bei A: b² = (c − q)² + h_c² = c² − 2c·a·cos β + a²·cos²β + a²·sin²β. Wegen sin²β + cos²β = 1 bleibt b² = a² + c² − 2ac · cos β.

Die Herleitung braucht nur den Satz des Pythagoras im Teildreieck plus den trigonometrischen Pythagoras. Der Korrekturterm entsteht aus dem gemischten Glied −2cq beim Ausmultiplizieren von (c − q)². Mit den beiden anderen Höhen erhält man genauso die Formen für a² und c².