Flächeninhalt mit dem Sinus
Ein dreieckiges Grundstück ist mit b = 40 m, c = 55 m und allen drei Winkeln vermessen. Welchen Winkel setzt du in A = ½ · b · c · sin ... ein?
Erklärung: α ist der Winkel zwischen den Seiten b und c. β liegt zwischen a und c, γ zwischen a und b — beide gehören zu einem anderen Seitenpaar.
Für ein Dreieck mit a = 6 cm, b = 4 cm und α = 40° gilt: A = ½ · 6 · 4 · sin 40°.
Erklärung: α liegt zwischen b und c, nicht zwischen a und b. Zu a und b gehört γ, also A = ½ · 6 · 4 · sin γ.
Lea rechnet für ein Dreieck mit a = 10 cm, c = 12 cm und γ = 40° den Flächeninhalt als A = ½ · 10 · 12 · sin 40° ≈ 38,6 cm². Was stimmt daran nicht?
Erklärung: Die Formel multipliziert zwei Seiten mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. In der Figur liegt γ zwischen a und b; zwischen a und c liegt β. Richtig wäre A = ½ · 10 · 12 · sin β.
Dreieck mit a = 9 cm, b = 4 cm, γ = 30°. Berechne den Flächeninhalt (in cm²). (sin 30° = 0,5)
Erklärung: A = ½ · 9 · 4 · 0,5 = 9 cm².
Dreieck mit a = 12 cm, b = 5 cm, γ = 90°. Berechne den Flächeninhalt (in cm²).
Erklärung: sin 90° = 1, also A = ½ · 12 · 5 · 1 = 30 cm² — die vertraute Kathetenformel des rechtwinkligen Dreiecks.
Dreieck mit a = 7 cm, b = 6 cm, γ = 150°. Berechne den Flächeninhalt (in cm²). (sin 150° = 0,5)
Erklärung: A = ½ · 7 · 6 · 0,5 = 10,5 cm². Der stumpfe Winkel ändert nichts — sin 150° = sin 30°.
Ein Dreieck hat b = 8 cm, c = 5 cm und α = 60°. Wie groß ist sein Flächeninhalt? (sin 60° ≈ 0,866)
Erklärung: A = ½ · 8 · 5 · 0,866 ≈ 17,3 cm². 34,6 cm² ist das Ergebnis ohne das ½ — das ist die Fläche des Parallelogramms aus b und c. 20,0 cm² entsteht mit cos 60° = 0,5 statt sin 60°.
In einem Dreieck ist b = 10 cm und γ = 40°. Wie lang ist die Höhe h_a auf die Seite a (in cm, auf 0,1 cm)? (sin 40° ≈ 0,643)
Erklärung: Die Höhe auf a ist im rechtwinkligen Teildreieck die Gegenkathete zu γ, mit b als Hypotenuse. h_a = b · sin γ = 10 · 0,643 ≈ 6,4 cm.
Für ein Dreieck mit a = 12 cm ist die Höhe h_a = 5 cm schon ausgerechnet. Wie groß ist der Flächeninhalt?
Erklärung: A = ½ · a · h_a = ½ · 12 · 5 = 30 cm². 60 cm² ist das Ergebnis ohne das ½, 17 cm² die Summe statt des Produkts.
Setze den passenden Winkel ein: A = ½ · a · c · sin ___
Erklärung: β ist der Winkel zwischen den Seiten a und c.
Verdoppelt man in einem Dreieck die Seite b und lässt a und γ unverändert, so verdoppelt sich der Flächeninhalt.
Erklärung: In A = ½ · a · b · sin γ steht b als Faktor. Doppeltes b heißt doppelte Höhe h_a = b · sin γ und damit doppelte Fläche.
Zeichne ein Dreieck ABC mit der Höhe h_a von A auf die Seite a und
markiere den Winkel γ. Drücke h_a mit b und γ aus und leite daraus
die Formel A = ½ · a · b · sin γ her.
Schreibe deine Herleitung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Formel ist nichts Neues — sie ist ½ · Grundseite · Höhe, bei der die Höhe durch b · sin γ ersetzt wurde.
A = ½ · b · c · sin … — tippe auf die Ecke, an der der Winkel zwischen b und c liegt.
Erklärung: b liegt B gegenüber (Strecke CA), c liegt C gegenüber (Strecke AB). Beide treffen sich in A — dort liegt α, der Winkel für A = ½ · b · c · sin α.
A = ½ · a · c · sin … — tippe auf die Ecke, an der der Winkel zwischen a und c liegt.
Erklärung: a liegt A gegenüber (Strecke BC), c liegt C gegenüber (Strecke AB). Sie treffen sich in B — dort liegt β, also A = ½ · a · c · sin β.
A = ½ · a · … · sin β — tippe auf die zweite Seite.
Erklärung: β liegt bei B, zwischen den Seiten BC und AB. BC ist a (gegenüber A), also ist die zweite Seite AB = c: A = ½ · a · c · sin β.
A = ½ · b · … · sin γ — tippe auf die zweite Seite.
Erklärung: γ liegt bei C, zwischen den Seiten CA und BC. CA ist b (gegenüber B), also ist die zweite Seite BC = a: A = ½ · a · b · sin γ.