Flächeninhalt mit dem Sinus

Den Flächeninhalt eines Dreiecks kennst du längst: $A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ — Grundseite mal Höhe, halbiert. Der Haken im allgemeinen Dreieck ist, dass die Höhe dort fast nie gegeben ist. Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel dazwischen.

So eine Höhe haben wir für den Sinussatz schon zweimal gebaut. Fällt man das Lot von $A$ auf die Seite a, liegt $h_a$ im rechtwinkligen Teildreieck der Seite b gegenüber vom Winkel $\gamma$:

$$\sin \gamma =\frac{h_a}{b}⟺h_a=b\cdot \sin \gamma$$

Das setzen wir in die alte Formel ein — die Grundseite ist $a$, die Höhe darauf ist $h_a$:

$$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma$$

Mehr steckt nicht dahinter. Die Formel misst keine Höhe mehr — sie rechnet sie aus dem Winkel aus.

Welcher Winkel? Immer der, der zwischen den beiden Seiten liegt, die du multiplizierst. Zu $a$ und $b$ gehört $\gamma$, zu $b$ und $c$ gehört $\alpha$, zu $a$ und $c$ gehört $\beta$:

$$A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma =\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ac\sin \beta$$

Beispiel: $a=8\text{cm}$, $b=6\text{cm}$, $\gamma =30°$. Mit $\sin 30°=0,5$:

$$A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot 0,5=12{\text{cm}}^2$$

Zwischenschritt zum Mitdenken: die Höhe ist hier $h_a=6\cdot 0,5=3\text{cm}$, und $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3$ ist dasselbe $12{\text{cm}}^2$.

Zwei Fehler, die diese Formel erzeugt. Der erste: den falschen Winkel einsetzen. $\sin \alpha$ statt $\sin \gamma$ gibt eine Zahl, die genauso plausibel aussieht — sie gehört nur zu einem anderen Seitenpaar. Prüfe vor dem Rechnen, ob dein Winkel wirklich zwischen deinen beiden Seiten liegt. Der zweite: das $\frac{1}{2}$ vergessen. Dann bekommst du den Flächeninhalt des Parallelogramms aus denselben beiden Seiten — genau doppelt so viel.

Auch für stumpfe Winkel. Schiebe $\gamma$ über $90°$: der Höhenfußpunkt $F$ wandert aus der Seite $a$ heraus, die Höhe steht jetzt außerhalb des Dreiecks. Die Formel merkt davon nichts, denn $\sin 130°=\sin 50°$ — genau der Supplementwinkel-Zusammenhang vom Einheitskreis. Bei $\gamma =90°$ ist $\sin \gamma =1$, und die Formel wird wieder zur gewohnten $\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$ der beiden Katheten.