Gleichungssysteme mit drei Variablen
Wie viele Gleichungen braucht man mindestens, um ein System mit drei Unbekannten eindeutig zu lösen?
Erklärung: Ein System mit n Unbekannten benötigt in der Regel n linear unabhängige Gleichungen für eine eindeutige Lösung.
Löse: x + y + z = 6, x − y + z = 2, x + y − z = 4. Berechne x.
Erklärung: Gl.1 + Gl.2: 2x + 2z = 8 → x + z = 4. Gl.1 + Gl.3: 2x + 2y = 10 → x + y = 5. Gl.2 + Gl.3: 2x = 6 → x = 3.
Im System oben (x + y + z = 6, x − y + z = 2, x + y − z = 4): Berechne y.
Erklärung: x = 3, x + y = 5 → y = 2.
Im System oben: Berechne z.
Erklärung: x = 3, x + z = 4 → z = 1. Probe: 3 + 2 + 1 = 6 ✓
Eine Parabel y = ax² + bx + c geht durch P(0|3), Q(1|6), R(−1|2). Was ist c?
Erklärung: P(0|3) einsetzen: 3 = a·0 + b·0 + c → c = 3.
Parabel durch P(0|3), Q(1|6), R(−1|2). Berechne a.
Erklärung: c = 3. Q: a + b + 3 = 6 → a + b = 3. R: a − b + 3 = 2 → a − b = −1. Addieren: 2a = 2 → a = 1.
Parabel durch P(0|3), Q(1|6), R(−1|2). Berechne b.
Erklärung: a = 1, a + b = 3 → b = 2. Die Parabel ist y = x² + 2x + 3.
Welches Verfahren eignet sich zur systematischen Lösung eines 3×3-LGS?
Erklärung: Beim Gauß-Verfahren eliminiert man schrittweise Variablen durch Addition/Subtraktion von Gleichungen, bis man eine Variable direkt ablesen kann.
Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Sein Flächeninhalt soll maximal sein. Wie lang ist die optimale Seite a (in cm)?
Erklärung: Umfang: 2a + 2b = 20 → b = 10 − a. Fläche: A = a·(10 − a) = −a² + 10a. Scheitel bei a = −10/(2·(−1)) = 5.
Was ist der maximale Flächeninhalt des Rechtecks mit Umfang 20 cm?
Erklärung: a = 5, b = 5. A = 5·5 = 25 cm². (Das Quadrat hat bei gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt.)
Bei einem Extremwertproblem mit quadratischer Funktion liegt das Maximum oder Minimum immer am Scheitelpunkt.
Erklärung: Richtig. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der höchste (a < 0) oder tiefste (a > 0) Punkt.
Eine Firma verkauft x Einheiten. Gewinn: G(x) = −2x² + 80x − 200. Bei wie vielen Einheiten ist der Gewinn maximal?
Erklärung: Scheitel bei x = −80/(2·(−2)) = −80/(−4) = 20.
Wie hoch ist der maximale Gewinn G(20)?
Erklärung: G(20) = −2·400 + 80·20 − 200 = −800 + 1600 − 200 = 600.
Bei einem Extremwertproblem modelliert man die Zielgröße als ___ Funktion und bestimmt den Scheitelwert.
Erklärung: Man drückt die zu optimierende Größe als quadratische Funktion einer Variablen aus und findet das Maximum/Minimum am Scheitelpunkt.
Löse: x + y + z = 9, x − y + z = 3, x + y − z = 5. Berechne x.
Erklärung: Gl.1 − Gl.2: 2y = 6 → y = 3. Gl.1 − Gl.3: 2z = 4 → z = 2. Einsetzen in Gl.1: x + 3 + 2 = 9 → x = 4. Probe: 4 − 3 + 2 = 3 ✓, 4 + 3 − 2 = 5 ✓.
Zwei Zahlen haben die Summe 12. Ihr Produkt soll maximal sein. Welches Produkt ergibt sich?
Erklärung: x + y = 12 → y = 12 − x. P = x(12 − x) = −x² + 12x. Scheitel bei x = 6, P(6) = 36.
Löse: x + y − z = 2, x − y + z = 4, 2x + y + z = 9. Berechne x.
Erklärung: Gl.1 + Gl.2: 2x = 6 → x = 3. Dann Gl.2 + Gl.3: 3x + 2z = 13 → z = 2. Gl.1: 3 + y − 2 = 2 → y = 1. Probe: 3 − 1 + 2 = 4 ✓, 6 + 1 + 2 = 9 ✓.
Drei Freunde sammeln zusammen 30 €. Anna gibt doppelt so viel wie Ben. Clara gibt 6 € mehr als Ben. Wie viel gibt Anna (in €)?
Erklärung: a = 2b, c = b + 6. Einsetzen: 2b + b + (b + 6) = 30 → 4b = 24 → b = 6. Also a = 12 €.