Gleichungssysteme mit drei Variablen

Systems of Equations with Three Variables

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
AlgebraLineare GleichungssystemeOptimierungAnwendungen

Voraussetzungen (2)

Lineare Gleichungssysteme
Klasse 8
›
Quadratische Funktionen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Wie viele Gleichungen braucht man mindestens, um ein System mit drei Unbekannten eindeutig zu lösen?

  • ○ 1
  • ○ 2
  • ● 3
  • ○ 4
Ein System mit n Unbekannten benötigt in der Regel n linear unabhängige Gleichungen für eine eindeutige Lösung.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Im System oben (x + y + z = 6, x − y + z = 2, x + y − z = 4): Berechne y.

✓ Antwort: 2
x = 3, x + y = 5 → y = 2.
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Im System oben: Berechne z.

✓ Antwort: 1
x = 3, x + z = 4 → z = 1. Probe: 3 + 2 + 1 = 6 ✓
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Eine Parabel y = ax² + bx + c geht durch P(0|3), Q(1|6), R(−1|2). Was ist c?

  • ○ 0
  • ○ 1
  • ○ 2
  • ● 3
P(0|3) einsetzen: 3 = a·0 + b·0 + c → c = 3.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Welches Verfahren eignet sich zur systematischen Lösung eines 3×3-LGS?

  • ○ Nur Raten und Probieren
  • ● Gauß-Verfahren (schrittweises Eliminieren)
  • ○ Nur graphisches Lösen
  • ○ Ableitung bilden
Beim Gauß-Verfahren eliminiert man schrittweise Variablen durch Addition/Subtraktion von Gleichungen, bis man eine Variable direkt ablesen kann.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Bei einem Extremwertproblem mit quadratischer Funktion liegt das Maximum oder Minimum immer am Scheitelpunkt.

✓ Wahr
Richtig. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der höchste (a < 0) oder tiefste (a > 0) Punkt.
Lückentext #7 15s ▶ Testen

Bei einem Extremwertproblem modelliert man die Zielgröße als ___ Funktion und bestimmt den Scheitelwert.

✓ Antwort: quadratische
Man drückt die zu optimierende Größe als quadratische Funktion einer Variablen aus und findet das Maximum/Minimum am Scheitelpunkt.
Mittel
Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Löse: x + y + z = 6, x − y + z = 2, x + y − z = 4. Berechne x.

✓ Antwort: 3
Gl.1 + Gl.2: 2x + 2z = 8 → x + z = 4. Gl.1 + Gl.3: 2x + 2y = 10 → x + y = 5. Gl.2 + Gl.3: 2x = 6 → x = 3.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Parabel durch P(0|3), Q(1|6), R(−1|2). Berechne a.

✓ Antwort: 1
c = 3. Q: a + b + 3 = 6 → a + b = 3. R: a − b + 3 = 2 → a − b = −1. Addieren: 2a = 2 → a = 1.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Parabel durch P(0|3), Q(1|6), R(−1|2). Berechne b.

✓ Antwort: 2
a = 1, a + b = 3 → b = 2. Die Parabel ist y = x² + 2x + 3.
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Sein Flächeninhalt soll maximal sein. Wie lang ist die optimale Seite a (in cm)?

✓ Antwort: 5
Umfang: 2a + 2b = 20 → b = 10 − a. Fläche: A = a·(10 − a) = −a² + 10a. Scheitel bei a = −10/(2·(−1)) = 5.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Was ist der maximale Flächeninhalt des Rechtecks mit Umfang 20 cm?

✓ Antwort: 25
a = 5, b = 5. A = 5·5 = 25 cm². (Das Quadrat hat bei gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt.)
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Eine Firma verkauft x Einheiten. Gewinn: G(x) = −2x² + 80x − 200. Bei wie vielen Einheiten ist der Gewinn maximal?

✓ Antwort: 20
Scheitel bei x = −80/(2·(−2)) = −80/(−4) = 20.
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Wie hoch ist der maximale Gewinn G(20)?

✓ Antwort: 600
G(20) = −2·400 + 80·20 − 200 = −800 + 1600 − 200 = 600.
Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Zwei Zahlen haben die Summe 12. Ihr Produkt soll maximal sein. Welches Produkt ergibt sich?

  • ○ 24
  • ○ 32
  • ● 36
  • ○ 48
x + y = 12 → y = 12 − x. P = x(12 − x) = −x² + 12x. Scheitel bei x = 6, P(6) = 36.
Zahleneingabe #9 30s ▶ Testen

Drei Freunde sammeln zusammen 30 €. Anna gibt doppelt so viel wie Ben. Clara gibt 6 € mehr als Ben. Wie viel gibt Anna (in €)?

✓ Antwort: 12
a = 2b, c = b + 6. Einsetzen: 2b + b + (b + 6) = 30 → 4b = 24 → b = 6. Also a = 12 €.
Schwer
Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Löse: x + y + z = 9, x − y + z = 3, x + y − z = 5. Berechne x.

✓ Antwort: 4
Gl.1 − Gl.2: 2y = 6 → y = 3. Gl.1 − Gl.3: 2z = 4 → z = 2. Einsetzen in Gl.1: x + 3 + 2 = 9 → x = 4. Probe: 4 − 3 + 2 = 3 ✓, 4 + 3 − 2 = 5 ✓.
Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Löse: x + y − z = 2, x − y + z = 4, 2x + y + z = 9. Berechne x.

✓ Antwort: 3
Gl.1 + Gl.2: 2x = 6 → x = 3. Dann Gl.2 + Gl.3: 3x + 2z = 13 → z = 2. Gl.1: 3 + y − 2 = 2 → y = 1. Probe: 3 − 1 + 2 = 4 ✓, 6 + 1 + 2 = 9 ✓.