Irrationale Zahlen
Welche Zahl lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben?
Erklärung: Irrational heißt: nicht als Bruch p/q ganzer Zahlen darstellbar. √(9/4) = 3/2 ist ein Bruch, also rational – obwohl eine Wurzel dasteht. √0,9 ist nicht 0,3 (das wäre √0,09) und irrational. 0,1010010001… hat ein Muster, wiederholt aber keinen festen Block: nicht periodisch, also irrational.
Die Zahl 0,333... (periodisch) ist irrational.
Erklärung: Falsch. 0,333... = 1/3, also ein Bruch und damit rational.
Welche Zahlenmenge enthält sowohl rationale als auch irrationale Zahlen?
Erklärung: Die reellen Zahlen ℝ umfassen alle rationalen und alle irrationalen Zahlen.
Sortiere die Zahlenmengen von der kleinsten zur größten: ℝ, ℕ, ℤ, ℚ
Erklärung: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Natürliche Zahlen sind in den ganzen enthalten, diese in den rationalen, und alle zusammen mit den irrationalen in den reellen.
Welche Beweismethode wird für die Irrationalität von √2 verwendet?
Erklärung: Man nimmt an, √2 sei rational (√2 = p/q mit teilerfremden p, q), und führt dies zum Widerspruch, dass p und q beide gerade sein müssten.
√9 ist eine irrationale Zahl.
Erklärung: Falsch. √9 = 3, eine natürliche Zahl und damit rational.
Welche der folgenden Zahlen ist irrational?
Erklärung: √25 = 5 (rational), 3/7 (rational), 0,125 = 1/8 (rational). Nur √2 ist irrational.
Beim indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an und zeigt, dass dies zu einem Widerspruch führt.
Erklärung: Richtig. Das ist das Prinzip des Widerspruchsbeweises: Annahme des Gegenteils → Widerspruch → ursprüngliche Behauptung muss wahr sein.
Im Beweis der Irrationalität von √2 nimmt man an, √2 = p/q mit teilerfremden p, q. Dann folgt p² = ___q².
Erklärung: Aus √2 = p/q folgt durch Quadrieren: 2 = p²/q², also p² = 2q².
Welche Gleichung hat in ℚ keine Lösung, wohl aber in ℝ?
Erklärung: x² = 5 hat die Lösungen ±√5 – irrationale Zahlen, die in ℚ fehlen. Die reellen Zahlen ℝ schließen diese Lücken. x + 5 = 2 (x = −3) und 3x = 2 (x = 2/3) sind schon in ℚ lösbar: Für negative Zahlen und Brüche braucht man ℝ nicht.
Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist immer irrational.
Erklärung: Falsch. Gegenbeispiel: √2 + (−√2) = 0, und 0 ist rational.
Welche Aussage über die Dezimaldarstellung irrationaler Zahlen stimmt?
Erklärung: Irrationale Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen ohne sich wiederholendes Muster.
Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist immer irrational.
Erklärung: Falsch. Gegenbeispiel: √2 · √2 = 2, und 2 ist rational.
Die Zahl e = 2,71828... ist:
Erklärung: Die Eulersche Zahl e ist irrational (und sogar transzendent). Sie kann nicht als Bruch dargestellt werden.
Die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen zusammen heißt die Menge der ___ Zahlen.
Erklärung: ℝ = ℚ ∪ (ℝ\ℚ). Die reellen Zahlen umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen.