Faktorisieren und der Satz vom Nullprodukt
Was besagt der Satz vom Nullprodukt?
Erklärung: a·b = 0 erzwingt a = 0 oder b = 0 — bei keiner anderen Zahl als 0 funktioniert dieser Schluss.
Löse: (x − 3)(x + 5) = 0
Erklärung: Jeder Faktor darf 0 sein — x − 3 = 0 gibt x = 3, x + 5 = 0 gibt x = −5.
x² − 7x = 0 wird zu x·(x − 7) = 0. Die von 0 verschiedene Lösung ist x = ___
Erklärung: Ausklammern von x liefert die Faktoren x und x − 7 — Lösungen 0 und 7.
Um x² = 5x zu lösen, darf man beide Seiten durch x teilen — dann findet man alle Lösungen.
Erklärung: Beim Teilen durch x geht die Lösung x = 0 verloren. Richtig ist x² − 5x = 0, also x(x − 5) = 0 mit x = 0 oder x = 5.
Tim löst (x − 2)(x − 3) = 6 so: „x − 2 = 6 oder x − 3 = 6." Was ist falsch?
Erklärung: Ein Produkt von 6 kann aus vielen Faktorpaaren entstehen (2·3, 1·6, …). Nur bei = 0 erzwingt das Produkt einen bestimmten Faktor.
x² − 9 = (x − 3)(x + ___)
Erklärung: Dritte binomische Formel — x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Wie viele Lösungen hat x·(x + 4) = 0?
Erklärung: Auch der Faktor x selbst darf 0 sein — x = 0 ist eine vollwertige Lösung.
Faktorisiere: x² + 5x + 6
Erklärung: Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe 5 — das sind 2 und 3.
(x − 1)(x + 2) = 0 hat die Lösungen x = 1 und x = −2.
Erklärung: Ja — jeweils ein Faktor wird 0.
3x² − 12x = 0 wird zu 3x·(x − 4) = 0. Die Lösungen sind x = 0 und x = ___
Erklärung: Ausklammern von 3x liefert 3x·(x − 4) = 0 — Lösungen 0 und 4.
Welche Gleichung löst man am schnellsten mit dem Satz vom Nullprodukt?
Erklärung: Steht schon ein Produkt gleich 0, liest man die Lösungen direkt ab — keine Formel nötig.
a·b = 0 kann auch gelten, wenn beide Faktoren ungleich 0 sind.
Erklärung: Nein — das Produkt zweier Zahlen ungleich 0 ist nie 0. Genau das macht den Satz vom Nullprodukt so stark.
Welche Lösungsmenge hat 4x² = 8x?
Erklärung: 4x² − 8x = 0, also 4x(x − 2) = 0 — Lösungen 0 und 2. Wer durch x teilt, verliert die 0.
x² − 4x + 4 = 0. Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?
Erklärung: Der Term ist ein vollständiges Quadrat — beide Faktoren sind gleich, es gibt nur die (doppelte) Lösung x = 2.