Potenzfunktionen
Der Graph von f(x) = xÂł ist:
ErklĂ€rung: FĂŒr ungerade n ist f(x) = xâż punktsymmetrisch zum Ursprung, da f(âx) = âf(x).
Der Graph von f(x) = x⎠ist:
ErklĂ€rung: FĂŒr gerade n ist f(x) = xâż achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(âx) = f(x).
Die dritte Wurzel von 27 ist: Âłâ27 = ___
ErklĂ€rung: 3Âł = 27, also Âłâ27 = 3.
Berechne: âŽâ81
ErklĂ€rung: 3⎠= 81, also âŽâ81 = 3.
Löse: x³ = 64. Was ist x?
ErklĂ€rung: x = Âłâ64 = 4, denn 4Âł = 64.
Wie viele reelle Lösungen hat x⎠= 16?
ErklĂ€rung: x⎠= 16 â x = ±âŽâ16 = ±2. Bei geraden Exponenten gibt es zwei Lösungen (eine positive und eine negative).
Schreibe als Potenz: Âłâx = x^(___)
ErklĂ€rung: Die n-te Wurzel entspricht dem Exponenten 1/n: Âłâx = x^(1/3).
Schreibe als Wurzel: x^(2/3) = (___âx)ÂČ
ErklĂ€rung: x^(2/3) = (x^(1/3))ÂČ = (Âłâx)ÂČ. Der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelindex.
Was ist 8^(2/3)?
ErklĂ€rung: 8^(2/3) = (Âłâ8)ÂČ = 2ÂČ = 4.
Berechne: 27^(1/3)
ErklĂ€rung: 27^(1/3) = Âłâ27 = 3.
Vereinfache: x^(1/2) · x^(1/2) = x^a. Was ist a?
ErklĂ€rung: x^(1/2) · x^(1/2) = x^(1/2 + 1/2) = xÂč.
Potenzgesetz: x^a · x^b = x^(___)
ErklÀrung: Gleiche Basis: Exponenten addieren. x^a · x^b = x^(a+b).
Vereinfache: (xÂł)^(2/3) = x^a. Was ist a?
ErklĂ€rung: (xÂł)^(2/3) = x^(3 · 2/3) = xÂČ. Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.
Wie verÀndert der Faktor a den Graphen von f(x) = a·x³, wenn a < 0?
ErklÀrung: Ein negatives a spiegelt den Graphen an der x-Achse (und streckt/staucht je nach |a|).
Berechne: 16^(3/4)
ErklĂ€rung: 16^(3/4) = (âŽâ16)Âł = 2Âł = 8.
Die Gleichung xÂł = â8 hat keine reelle Lösung.
ErklĂ€rung: Falsch. x = Âłâ(â8) = â2, denn (â2)Âł = â8. Bei ungeraden Exponenten gibt es auch negative Lösungen.
Vereinfache: x^(3/4) / x^(1/4) = x^a. Was ist a? (Als Dezimalzahl)
ErklĂ€rung: x^(3/4) / x^(1/4) = x^(3/4 â 1/4) = x^(2/4) = x^(1/2) = x^0,5.
Die Funktion y = x³ verlÀuft durch welche Quadranten?
ErklĂ€rung: y = xÂł ist fĂŒr x > 0 positiv (I. Quadrant) und fĂŒr x < 0 negativ (III. Quadrant). Die Funktion ist zentralsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph von y = x^(â1) = 1/x ist eine:
ErklÀrung: y = 1/x hat als Graph eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten.
Die Funktion y = âx (also y = x^(1/2)) ist fĂŒr alle reellen Zahlen definiert.
ErklĂ€rung: Falsch. y = âx ist nur fĂŒr x â„ 0 definiert. FĂŒr negative x existiert keine reelle Quadratwurzel.
Welche Funktion ist auf ganz â monoton wachsend?
ErklĂ€rung: y = xÂł ist auf ganz â streng monoton wachsend. y = xÂČ wĂ€chst nur fĂŒr x > 0, und y = 1/x ist fĂŒr x > 0 und x < 0 jeweils fallend.
Der Graph von y = a · x³ geht durch den Punkt P(2|24). Bestimme a.
ErklĂ€rung: 24 = a · 2Âł = 8a â a = 24/8 = 3.
Wie verhalten sich die Graphen von y = x^(â2) und y = x^(â1) fĂŒr groĂe positive x?
ErklĂ€rung: FĂŒr groĂe x gehen 1/x und 1/xÂČ beide gegen 0, aber 1/xÂČ fĂ€llt schneller, da der Exponent stĂ€rker wirkt.