Potenzfunktionen

Power Functions

Mathematik Klasse 9 23 Aufgaben
FunktionenPotenzenWurzelnAlgebra

Die Potenzfunktionen f(x) = a · xⁿ bilden eine Familie, deren Graph der Exponent n formt: gerades n ergibt achsensymmetrische Parabeln höherer Ordnung, ungerades n punktsymmetrische Kurven, negatives n Hyperbeln (x⁻¹) und der Bruchexponent 1/2 den halben Wurzelbogen. Der Faktor a streckt oder staucht. Gleichungen xⁿ = c löst man über die n-te Wurzel. Der Vergleich von Symmetrie, Verhalten für große x und Definitionslücken bereitet ganzrationale und Exponentialfunktionen vor.

Voraussetzungen (3)

Potenzbegriff erweitern — warum a⁰ = 1 gilt
Klasse 9
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Funktionsbegriff
Klasse 8
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Termumformungen
Klasse 7
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Ermöglicht (2)

Exponentielles Wachstum und Abnahme
Klasse 10
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Ganzrationale Funktionen
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x³ ist:

  • ○ Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • ● Punktsymmetrisch zum Ursprung
  • ○ Achsensymmetrisch zur x-Achse
  • ○ Weder symmetrisch noch punktsymmetrisch
Für ungerade n ist f(x) = xⁿ punktsymmetrisch zum Ursprung, da f(−x) = −f(x).
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x⁴ ist:

  • ○ Punktsymmetrisch zum Ursprung
  • ● Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • ○ Keine Symmetrie
  • ○ Achsensymmetrisch zur x-Achse
Für gerade n ist f(x) = xⁿ achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(−x) = f(x).
Lückentext #3 10s ▶ Testen

Die dritte Wurzel von 27 ist: ³√27 = ___

✓ Antwort: 3
3³ = 27, also ³√27 = 3.
Zahleneingabe #4 10s ▶ Testen

Berechne: ⁴√81

✓ Antwort: 3
3⁴ = 81, also ⁴√81 = 3.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Löse: x³ = 64. Was ist x?

✓ Antwort: 4
x = ³√64 = 4, denn 4³ = 64.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Schreibe als Potenz: ³√x = x^(___)

✓ Antwort: 1/3
Die n-te Wurzel entspricht dem Exponenten 1/n: ³√x = x^(1/3).
Zahleneingabe #7 10s ▶ Testen

Berechne: 27^(1/3)

✓ Antwort: 3
27^(1/3) = ³√27 = 3.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Vereinfache: x^(1/2) · x^(1/2) = x^a. Was ist a?

✓ Antwort: 1
x^(1/2) · x^(1/2) = x^(1/2 + 1/2) = x¹.
Lückentext #9 10s ▶ Testen

Potenzgesetz: x^a · x^b = x^(___)

✓ Antwort: a+b
Gleiche Basis: Exponenten addieren. x^a · x^b = x^(a+b).
Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

Die Funktion y = x³ verläuft durch welche Quadranten?

  • ○ I. und II. Quadrant
  • ● I. und III. Quadrant
  • ○ I. und IV. Quadrant
  • ○ Alle vier Quadranten
y = x³ ist für x > 0 positiv (I. Quadrant) und für x < 0 negativ (III. Quadrant). Die Funktion ist zentralsymmetrisch zum Ursprung.
Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Der Graph von y = x^(−1) = 1/x ist eine:

  • ○ Parabel
  • ○ Gerade
  • ● Hyperbel
  • ○ Kubische Kurve
y = 1/x hat als Graph eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten.
Wahr / Falsch #12 15s ▶ Testen

Die Funktion y = √x (also y = x^(1/2)) ist für alle reellen Zahlen definiert.

✓ Falsch
Falsch. y = √x ist nur für x ≥ 0 definiert. Für negative x existiert keine reelle Quadratwurzel.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie viele reelle Lösungen hat x⁴ = 16?

  • ○ 0
  • ○ 1
  • ● 2
  • ○ 4
x⁴ = 16 → x = ±⁴√16 = ±2. Bei geraden Exponenten gibt es zwei Lösungen (eine positive und eine negative).
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Schreibe als Wurzel: x^(2/3) = (___√x)²

✓ Antwort: ³
x^(2/3) = (x^(1/3))² = (³√x)². Der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelindex.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Was ist 8^(2/3)?

  • ○ 2
  • ● 4
  • ○ 6
  • ○ 16
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Vereinfache: (x³)^(2/3) = x^a. Was ist a?

✓ Antwort: 2
(x³)^(2/3) = x^(3 · 2/3) = x². Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie verändert der Faktor a den Graphen von f(x) = a·x³, wenn a < 0?

  • ○ Der Graph wird nur gestreckt
  • ● Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt
  • ○ Der Graph wird nach oben verschoben
  • ○ Der Graph wird schmaler
Ein negatives a spiegelt den Graphen an der x-Achse (und streckt/staucht je nach |a|).
Zahleneingabe #6 20s ▶ Testen

Berechne: 16^(3/4)

✓ Antwort: 8
16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die Gleichung x³ = −8 hat keine reelle Lösung.

✓ Falsch
Falsch. x = ³√(−8) = −2, denn (−2)³ = −8. Bei ungeraden Exponenten gibt es auch negative Lösungen.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Vereinfache: x^(3/4) / x^(1/4) = x^a. Was ist a? (Als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.5
x^(3/4) / x^(1/4) = x^(3/4 − 1/4) = x^(2/4) = x^(1/2) = x^0,5.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Funktion ist auf ganz ℝ monoton wachsend?

  • ○ y = x²
  • ● y = x³
  • ○ y = 1/x
  • ○ y = x⁴
y = x³ ist auf ganz ℝ streng monoton wachsend. y = x² wächst nur für x > 0, und y = 1/x ist für x > 0 und x < 0 jeweils fallend.
Zahleneingabe #10 20s ▶ Testen

Der Graph von y = a · x³ geht durch den Punkt P(2|24). Bestimme a.

✓ Antwort: 3
24 = a · 2³ = 8a → a = 24/8 = 3.
Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Wie verhalten sich die Graphen von y = x^(−2) und y = x^(−1) für große positive x?

  • ● Beide nähern sich 0 an, y = x^(−2) schneller
  • ○ Beide nähern sich 0 an, y = x^(−1) schneller
  • ○ Beide wachsen ins Unendliche
  • ○ y = x^(−1) nähert sich 0, y = x^(−2) wächst
Für große x gehen 1/x und 1/x² beide gegen 0, aber 1/x² fällt schneller, da der Exponent stärker wirkt.