Pythagoras als Flächensatz
Was besagt der Satz des Pythagoras als Flächensatz?
Erklärung: Der Satz vergleicht Flächen â die beiden Kathetenquadrate lassen sich zusammen exakt zum Hypotenusenquadrat umlegen.
FĂźr welche Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras?
Erklärung: Der rechte Winkel ist die Voraussetzung â ohne ihn stimmt die Flächenbilanz nicht.
Welche Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse?
Erklärung: Hypotenuse heiĂt die dem rechten Winkel gegenĂźberliegende Seite; die beiden anderen sind die Katheten.
In a² + b² = c² darf c fßr irgendeine der drei Seiten stehen.
Erklärung: Nein â c muss die Hypotenuse sein. Wer eine Kathete einsetzt, rechnet die Flächenbilanz falsch herum.
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei B. Welche Seite ist die Hypotenuse?
Erklärung: Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenĂźber. Liegt er bei B, ist es die Seite b â hier gilt a² + c² = b², nicht a² + b² = c².
Die Kathetenquadrate haben die Flächen 9 cm² und 16 cm². Das Hypotenusenquadrat hat die Fläche ___ cm².
Erklärung: 9 + 16 = 25 â die Flächen der Kathetenquadrate addieren sich zum Hypotenusenquadrat.
Das Quadrat Ăźber einer Kathete kann grĂśĂer sein als das Quadrat Ăźber der Hypotenuse.
Erklärung: Nein â die Hypotenuse ist die längste Seite, ihr Quadrat also das grĂśĂte.
Ăber den Seiten eines Dreiecks liegen Quadrate mit 25 cm², 144 cm² und 169 cm². Ist das Dreieck rechtwinklig?
Erklärung: Stimmt die Flächenbilanz der Quadrate, ist das Dreieck rechtwinklig â das ist die Umkehrung des Satzes.
Was folgt aus der Umkehrung des Satzes von Pythagoras, wenn in einem Dreieck a² + b² = c² gilt (c die längste Seite)?
Erklärung: Die Umkehrung macht aus der Flächenbilanz einen Test auf Rechtwinkligkeit â ganz ohne Winkelmessen.
Auch fßr ein stumpfwinkliges Dreieck gilt a² + b² = c².
Erklärung: Nein â beim stumpfen Winkel ist das Quadrat Ăźber der längsten Seite grĂśĂer als die beiden anderen zusammen.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 5 cm. Gilt hier 5² + 5² = 5²?
Erklärung: 25 + 25 = 50 â 25 â und das muss auch so sein, denn der Satz setzt einen rechten Winkel voraus.
Das Hypotenusenquadrat hat 100 cm², ein Kathetenquadrat 36 cm². Das andere Kathetenquadrat hat ___ cm².
Erklärung: 100 â 36 = 64 â die Flächenbilanz lässt sich in beide Richtungen lesen.
Was vergleicht der Satz des Pythagoras direkt miteinander?
Erklärung: a², b², c² sind Quadratflächen â dass man damit Seitenlängen berechnen kann, ist erst die Folge des Flächensatzes.
Mit dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung kann man prĂźfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, ohne einen Winkel zu messen.
Erklärung: Ja â drei Seitenlängen genĂźgen. Stimmt die Bilanz der Quadrate, ist der Winkel gegenĂźber der längsten Seite ein rechter.