Was besagt der Satz des Pythagoras als Flächensatz?
â Die Quadrate Ăźber den Katheten sind zusammen so groĂ wie das Quadrat Ăźber der Hypotenuse.â Alle Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind gleich lang.â Der Umfang des Dreiecks ist gleich der Fläche des grĂśĂten Quadrats. Der Satz vergleicht Flächen â die beiden Kathetenquadrate lassen sich zusammen exakt zum Hypotenusenquadrat umlegen.
FĂźr welche Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras?
â Nur fĂźr rechtwinklige Dreiecke.â FĂźr alle Dreiecke.â Nur fĂźr gleichseitige Dreiecke. Der rechte Winkel ist die Voraussetzung â ohne ihn stimmt die Flächenbilanz nicht.
Welche Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse?
â Die Seite gegenĂźber dem rechten Winkel â sie ist zugleich die längste.â Die kĂźrzeste Seite.â Immer die Seite, die unten liegt. Hypotenuse heiĂt die dem rechten Winkel gegenĂźberliegende Seite; die beiden anderen sind die Katheten.
In a² + b² = c² darf c fßr irgendeine der drei Seiten stehen.
â Falsch
Nein â c muss die Hypotenuse sein. Wer eine Kathete einsetzt, rechnet die Flächenbilanz falsch herum.
Die Kathetenquadrate haben die Flächen 9 cm² und 16 cm². Das Hypotenusenquadrat hat die Fläche ___ cm².
â Antwort: 25
9 + 16 = 25 â die Flächen der Kathetenquadrate addieren sich zum Hypotenusenquadrat.
Das Quadrat Ăźber einer Kathete kann grĂśĂer sein als das Quadrat Ăźber der Hypotenuse.
â Falsch
Nein â die Hypotenuse ist die längste Seite, ihr Quadrat also das grĂśĂte.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 5 cm. Gilt hier 5² + 5² = 5²?
â Nein â das Dreieck hat keinen rechten Winkel, der Satz ist gar nicht anwendbar.â Ja, der Satz gilt fĂźr alle Dreiecke.â Ja, wenn man auf beiden Seiten kĂźrzt. 25 + 25 = 50 â 25 â und das muss auch so sein, denn der Satz setzt einen rechten Winkel voraus.
Das Hypotenusenquadrat hat 100 cm², ein Kathetenquadrat 36 cm². Das andere Kathetenquadrat hat ___ cm².
â Antwort: 64
100 â 36 = 64 â die Flächenbilanz lässt sich in beide Richtungen lesen.
Was vergleicht der Satz des Pythagoras direkt miteinander?
â Flächen von Quadraten Ăźber den Dreiecksseiten.â Die drei Winkel des Dreiecks.â Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks. a², b², c² sind Quadratflächen â dass man damit Seitenlängen berechnen kann, ist erst die Folge des Flächensatzes.
Mit dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung kann man prĂźfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, ohne einen Winkel zu messen.
â Wahr
Ja â drei Seitenlängen genĂźgen. Stimmt die Bilanz der Quadrate, ist der Winkel gegenĂźber der längsten Seite ein rechter.
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei B. Welche Seite ist die Hypotenuse?
â b â die Seite gegenĂźber von B.â c â die heiĂt doch immer so.â a â die erste im Alphabet. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenĂźber. Liegt er bei B, ist es die Seite b â hier gilt a² + c² = b², nicht a² + b² = c².
Ăber den Seiten eines Dreiecks liegen Quadrate mit 25 cm², 144 cm² und 169 cm². Ist das Dreieck rechtwinklig?
â Ja, denn 25 + 144 = 169.â Nein, die Zahlen sind zu verschieden.â Das kann man an Flächen nicht erkennen. Stimmt die Flächenbilanz der Quadrate, ist das Dreieck rechtwinklig â das ist die Umkehrung des Satzes.
Was folgt aus der Umkehrung des Satzes von Pythagoras, wenn in einem Dreieck a² + b² = c² gilt (c die längste Seite)?
â Das Dreieck hat einen rechten Winkel gegenĂźber von c.â Das Dreieck ist gleichseitig.â Das Dreieck hat einen stumpfen Winkel. Die Umkehrung macht aus der Flächenbilanz einen Test auf Rechtwinkligkeit â ganz ohne Winkelmessen.
Auch fßr ein stumpfwinkliges Dreieck gilt a² + b² = c².
â Falsch
Nein â beim stumpfen Winkel ist das Quadrat Ăźber der längsten Seite grĂśĂer als die beiden anderen zusammen.