Quadratische Ergänzung

Erklärung: Die Hälfte von 6 ist 3, und 3² = 9. Dann gilt x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Erklärung: Halbiere 8 zu 4 und quadriere — 4² = 16.

Erklärung: Man ergänzt 5² = 25 — und muss die 25 sofort wieder abziehen, damit der Term gleich bleibt.

Erklärung: Die quadratische Ergänzung bringt den Term in die Scheitelform (x − d)² + e — daraus liest man den Scheitelpunkt S(d | e) direkt ab: S(4 | −6). Aus (x − 4) wird x = 4, nicht −4; die 10 ist nur der y-Achsenabschnitt.

Erklärung: (x − 3)² = x² − 6x + 9. Also x² − 6x + 2 = (x − 3)² − 9 + 2 = (x − 3)² − 7.

Erklärung: Ja — die Hälfte von 12 ist 6 und 6² = 36, also ist der Term (x + 6)².

Erklärung: In die Klammer kommt die Hälfte von p: aus x² + 4x wird (x + 2)² − 4. Das Halbieren zu vergessen ist der häufigste Fehler.

Erklärung: x² + 6x + 9 = (x + 3)² und x² − 2x + 1 = (x − 1)². Bei x² + 9 fehlt das mittlere Glied 6x.

Erklärung: (x − 5)² = x² − 10x + 25. Es bleiben 30 − 25 = 5 übrig.

Erklärung: Ja — die Ergänzung ist immer das Quadrat der halben Zahl vor dem x, auch wenn ein Bruch entsteht.

Erklärung: Die Ergänzung funktioniert nur, wenn vor x² der Faktor 1 steht. Danach folgt 2·((x + 2)² − 4) = 2(x + 2)² − 8.

Erklärung: x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.

Erklärung: Ein Quadrat ist nie negativ — (x − 2)² ist mindestens 0 (bei x = 2), der Term also mindestens 3.

Erklärung: Nein — ein Quadrat ist nie negativ. Genau darauf beruht die Kraft der Quadratform.