Quadratische Ergänzung

Completing the square

Mathematik Klasse 9 14 Aufgaben
AlgebraQuadratischBinomische FormelnKerncurriculum

Quadratische Ergänzung heißt, die erste binomische Formel rückwärts zu lesen: Durch Ergänzen von (p/2)² wird x² + px zum vollständigen Quadrat, also x² + px = (x + p/2)² − (p/2)². Der Kern — p halbieren, quadrieren, wieder abziehen — trägt zwei Rollen: die Scheitelform quadratischer Funktionen und später das Lösen quadratischer Gleichungen; nach Malle die Strategie, die die Lösungsformel begründet, statt sie als Rezept zu setzen (Vollrath & Weigand, Algebra in der Sekundarstufe). Typische Fehler: p nicht halbieren, das ergänzte Quadrat nicht wieder abziehen, Vorzeichen beim Ausklammern von a.

Voraussetzungen (2)

Binomische Formeln
Klasse 7
›
Termumformungen
Klasse 7
›

Ermöglicht (1)

Quadratische Funktionen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche Zahl ergänzt x² + 6x zu einem vollständigen Quadrat?

  • ● 9
  • ○ 36
  • ○ 3
Die Hälfte von 6 ist 3, und 3² = 9. Dann gilt x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Lückentext #2 12s ▶ Testen

x² + 8x + ___ = (x + 4)²

✓ Antwort: 16
Halbiere 8 zu 4 und quadriere — 4² = 16.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

x² + 10x = (x + 5)² − ___. Welche Zahl fehlt?

  • ● 25
  • ○ 5
  • ○ 10
Man ergänzt 5² = 25 — und muss die 25 sofort wieder abziehen, damit der Term gleich bleibt.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Quadratische Ergänzung: x² − 8x + 10 = (x − 4)² − 6. Welchen Scheitelpunkt hat die Parabel y = x² − 8x + 10?

  • ○ S(−4 | −6)
  • ○ S(4 | 10)
  • ● S(4 | −6)
Die quadratische Ergänzung bringt den Term in die Scheitelform (x − d)² + e — daraus liest man den Scheitelpunkt S(d | e) direkt ab: S(4 | −6). Aus (x − 4) wird x = 4, nicht −4; die 10 ist nur der y-Achsenabschnitt.
Wahr / Falsch #5 10s ▶ Testen

x² + 12x + 36 ist ein vollständiges Quadrat.

✓ Wahr
Ja — die Hälfte von 12 ist 6 und 6² = 36, also ist der Term (x + 6)².
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Term ist KEIN vollständiges Quadrat?

  • ● x² + 9
  • ○ x² + 6x + 9
  • ○ x² − 2x + 1
x² + 6x + 9 = (x + 3)² und x² − 2x + 1 = (x − 1)². Bei x² + 9 fehlt das mittlere Glied 6x.
Wahr / Falsch #7 10s ▶ Testen

(x − 4)² kann für passende x auch negativ werden.

✓ Falsch
Nein — ein Quadrat ist nie negativ. Genau darauf beruht die Kraft der Quadratform.
Mittel
Lückentext #1 25s ▶ Testen

x² − 6x + 2 = (x − 3)² − ___

✓ Antwort: 7
(x − 3)² = x² − 6x + 9. Also x² − 6x + 2 = (x − 3)² − 9 + 2 = (x − 3)² − 7.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Lena schreibt: x² + 4x = (x + 4)² − 16. Welchen Fehler hat sie gemacht?

  • ● Sie hat vergessen, die 4 zu halbieren — richtig ist (x + 2)² − 4.
  • ○ Sie hat das falsche Vorzeichen — richtig ist (x − 4)² − 16.
  • ○ Gar keinen, die Umformung stimmt.
In die Klammer kommt die Hälfte von p: aus x² + 4x wird (x + 2)² − 4. Das Halbieren zu vergessen ist der häufigste Fehler.
Lückentext #3 25s ▶ Testen

x² − 10x + 30 = (x − 5)² + ___

✓ Antwort: 5
(x − 5)² = x² − 10x + 25. Es bleiben 30 − 25 = 5 übrig.
Wahr / Falsch #4 12s ▶ Testen

Bei x² + 7x ergänzt man (7/2)² = 12,25.

✓ Wahr
Ja — die Ergänzung ist immer das Quadrat der halben Zahl vor dem x, auch wenn ein Bruch entsteht.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

2x² + 8x soll quadratisch ergänzt werden. Was ist der richtige erste Schritt?

  • ● Die 2 ausklammern — 2·(x² + 4x).
  • ○ Sofort 16 ergänzen.
  • ○ Durch x teilen.
Die Ergänzung funktioniert nur, wenn vor x² der Faktor 1 steht. Danach folgt 2·((x + 2)² − 4) = 2(x + 2)² − 8.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welcher Term entsteht, wenn man x² + 6x + 5 quadratisch ergänzt?

  • ● (x + 3)² − 4
  • ○ (x + 3)² + 5
  • ○ (x + 6)² − 31
x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.
Lückentext #7 20s ▶ Testen

Welchen kleinsten Wert kann (x − 2)² + 3 annehmen? Antwort: ___

✓ Antwort: 3
Ein Quadrat ist nie negativ — (x − 2)² ist mindestens 0 (bei x = 2), der Term also mindestens 3.