Quadratische Funktionen
Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Erklärung: Der Graph einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c ist eine Parabel.
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet f(x) = a·(x − ___)² + yₛ.
Erklärung: In der Scheitelpunktform f(x) = a·(x − xₛ)² + yₛ ist S(xₛ|yₛ) der Scheitelpunkt der Parabel.
Die Funktion f(x) = 2(x − 3)² + 1 hat den Scheitelpunkt bei:
Erklärung: Aus f(x) = 2(x − 3)² + 1 liest man ab: xₛ = 3, yₛ = 1. Also S(3|1).
Was bewirkt der Parameter a in f(x) = a·x²?
Erklärung: a > 0: Parabel nach oben geöffnet; a < 0: nach unten. |a| > 1: schmaler; |a| < 1: breiter als die Normalparabel.
Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² − 6x + 5 durch quadratische Ergänzung.
Erklärung: x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Also S(3|−4).
Bestimme den y-Wert des Scheitelpunkts von f(x) = x² + 4x + 7.
Erklärung: x² + 4x + 7 = (x + 2)² − 4 + 7 = (x + 2)² + 3. Der Scheitel liegt bei y = 3.
Wie viele Nullstellen hat f(x) = x² − 4x + 4?
Erklärung: x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 hat genau eine Lösung: x = 2 (doppelte Nullstelle).
Welche Darstellungsform eignet sich am besten, um die Nullstellen direkt abzulesen?
Erklärung: In der Nullstellenform sieht man die Nullstellen x₁ und x₂ direkt am Term.
Eine Parabel mit a > 0 hat immer einen kleinsten Funktionswert.
Erklärung: Richtig. Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist das Minimum.
Die Funktion f(x) = −(x + 1)² + 9 hat Nullstellen bei x₁ = ___ und x₂ = 2.
Erklärung: −(x + 1)² + 9 = 0 → (x + 1)² = 9 → x + 1 = ±3 → x = 2 oder x = −4.
Die Funktion f(x) = 3(x − 2)(x + 4) hat ihren Scheitelpunkt bei x = ?
Erklärung: Die Symmetrieachse liegt mittig zwischen den Nullstellen: xₛ = (2 + (−4))/2 = −2/2 = −1.
Berechne den y-Achsenabschnitt von f(x) = 2x² − 3x + 5.
Erklärung: f(0) = 2·0 − 3·0 + 5 = 5. Der y-Achsenabschnitt ist der Wert c in ax² + bx + c.
Die Parabel f(x) = −2x² + 8x − 3 ist nach oben geöffnet.
Erklärung: Falsch. Da a = −2 < 0, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Welches Intervall beschreibt die Wertemenge von f(x) = (x − 1)² − 4?
Erklärung: Der Scheitel liegt bei yₛ = −4, die Parabel ist nach oben geöffnet (a = 1 > 0). Also W = [−4; +∞).
Für welchen Wert von e hat f(x) = (x + 2)² + e genau eine Nullstelle?
Erklärung: (x + 2)² + e = 0 hat genau eine Lösung, wenn e = 0: dann (x + 2)² = 0, also x = −2.
Die Normalparabel y = x² wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. Wie lautet die neue Funktionsgleichung?
Erklärung: Eine Verschiebung nach oben um q Einheiten ergibt y = x² + q. Hier q = 3.
Die Normalparabel y = x² wird um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Wie lautet die neue Funktionsgleichung?
Erklärung: Eine Verschiebung nach rechts um d Einheiten ergibt y = (x − d)². Hier d = 2.
Bestimme die Nullstellen von f(x) = x² − 9. Berechne die positive Nullstelle.
Erklärung: x² − 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3. Die positive Nullstelle ist 3.
Die Parabel y = x² + px + 8 hat ihren Scheitel bei x = 2. Was ist p?
Erklärung: Die Symmetrieachse liegt bei x = −p/2. Also −p/2 = 2 → p = −4.
Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe ist h(t) = −5t² + 20t (in Metern). Wann erreicht er die maximale Höhe (in Sekunden)?
Erklärung: h(t) = −5t² + 20t = −5(t² − 4t) = −5(t − 2)² + 20. Maximum bei t = 2 s.
Wie hoch fliegt der Ball aus der vorigen Aufgabe maximal (in Metern)?
Erklärung: h(2) = −5·4 + 20·2 = −20 + 40 = 20 m.
Die Parabel y = −x² + 4x − 3 schneidet die x-Achse bei:
Erklärung: −x² + 4x − 3 = 0 → x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0. Nullstellen bei x = 1 und x = 3.
Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = 2x² − 12x + 14. Was ist die x-Koordinate des Scheitels?
Erklärung: xₛ = −b/(2a) = 12/4 = 3. Oder: 2(x² − 6x) + 14 = 2(x − 3)² − 18 + 14 = 2(x − 3)² − 4.